已知等比數(shù)列{an}滿足2a1+a3=3a2,且a3+2是a2,a4的等差中項.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)若bn=an+log2
1an
,Sn=b1+b2+…bn,求使 Sn-2n+1+47<0 成立的正整數(shù)n的最小值.
分析:(Ⅰ)設等比數(shù)列{an}的首項為a1,公比為q,根據(jù)2a1+a3=3a2,且a3+2是a2,a4的等差中項,建立方程組,從而可求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ) bn=an+log2
1
an
=2n-n,求出Sn=b1+b2+…bn,再利用Sn-2n+1+47<0,建立不等式,即可求得使Sn-2n+1+47<0成立的正整數(shù)n的最小值.
解答:解:(Ⅰ)設等比數(shù)列{an}的首項為a1,公比為q,
依題意,∵2a1+a3=3a2,且a3+2是a2,a4的等差中項
a1(2+q2)=3a1q①
a1(q+q3)=2a1q2+4②

由 ①得 q2-3q+2=0,解得q=1或q=2.
當q=1時,不合題意舍;
當q=2時,代入(2)得a1=2,所以an=2n.….…(6分)
(Ⅱ) bn=an+log2
1
an
=2n-n.….…(7分)
所以Sn=b1+b2+…bn=(2+22++2n)-(1+2+…+n)=2n+1-2-
1
2
n
-
1
2
n2 ….…(10分)
因為 Sn-2n+1+47<0,所以2n+1-2-
1
2
n
-
1
2
n2-2n+1+47<0,
即n2+n-90>0,解得n>9或n<-10.….…(12分)
故使Sn-2n+1+47<0成立的正整數(shù)n的最小值為10.….(13分)
點評:本題考查等比數(shù)列的通項,考查數(shù)列的通項與求和,考查解不等式,解題的關鍵是確定數(shù)列的通項與和,屬于中檔題.
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12
,則n=
9
9

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