分析:(Ⅰ)設等比數(shù)列{a
n}的首項為a
1,公比為q,根據(jù)2a
1+a
3=3a
2,且a
3+2是a
2,a
4的等差中項,建立方程組,從而可求數(shù)列{a
n}的通項公式;
(Ⅱ)
bn=an+log2=2
n-n,求出S
n=b
1+b
2+…b
n,再利用
Sn-2n+1+47<0,建立不等式,即可求得使
Sn-2n+1+47<0成立的正整數(shù)n的最小值.
解答:解:(Ⅰ)設等比數(shù)列{a
n}的首項為a
1,公比為q,
依題意,∵2a
1+a
3=3a
2,且a
3+2是a
2,a
4的等差中項
∴
| a1(2+q2)=3a1q① | a1(q+q3)=2a1q2+4② |
| |
由 ①得 q
2-3q+2=0,解得q=1或q=2.
當q=1時,不合題意舍;
當q=2時,代入(2)得a
1=2,所以a
n=2
n.….…(6分)
(Ⅱ)
bn=an+log2=2
n-n.….…(7分)
所以S
n=b
1+b
2+…b
n=(2+2
2++2
n)-(1+2+…+n)=2
n+1-2-
n-
n
2 ….…(10分)
因為
Sn-2n+1+47<0,所以2
n+1-2-
n-
n
2-2
n+1+47<0,
即n
2+n-90>0,解得n>9或n<-10.….…(12分)
故使
Sn-2n+1+47<0成立的正整數(shù)n的最小值為10.….(13分)
點評:本題考查等比數(shù)列的通項,考查數(shù)列的通項與求和,考查解不等式,解題的關鍵是確定數(shù)列的通項與和,屬于中檔題.