Question

拋物線y²=4x的焦點為F，點A、B在拋物線上（A點在第一象限，B點在第四象限），且|FA|=2，|FB|=5，
（1）求點A、B的坐標；
（2）求線段AB的長度和直線AB的方程；
（3）在拋物線AOB這段曲線上求一點P，使△PAB的面積最大，并求這個最大面積．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)條件知，|FA|=2，|FB|=5，可根據(jù)拋物線的定義求出兩點的橫坐標，再代入方程求出它們的縱坐標，求得點A、B的坐標；
（2）由（1）兩點坐標已知，故由兩點間距離公式求出兩點的距離，由直線方程的兩點式求出直線AB的方程；
（3）由題意，求△PAB的面積最大值可轉(zhuǎn)化為求點P到直線AB的距離的最大值，設(shè)出點P的坐標，由點到直線的距離公式建立起點P到直線AB的距離的函數(shù)關(guān)系式，利用函數(shù)的知識求出最值，即可求出面積的最大值以及此時的點P的坐標．

解答：解：（1）拋物線的焦點F（1，0），點A在第一象限，設(shè)A（x₁，y₁），y₁＞0，
由|FA|=2得x₁+1=2，x₁=1，代入y²=4x中得y₁=2，所以A（1，2），…（2分）；
同理B（4，-4），…（4分）
（2）由A（1，2），B（4，-4）得|AB|=

(1-4)2+(2+4)2

=3

5

…（6分）
直線AB的方程為

y-2

-4-2

=

x-1

4-1

，化簡得2x+y-4=0．…（8分）
（3）設(shè)在拋物線AOB這段曲線上任一點P（x₀，y₀），且0≤x₀≤4，-4≤y₀≤2．
則點P到直線AB的距離d=

|2x0+y0-4|

1+4

=

|2× y0 2 4 +y0-4|

5

=

| 1 2 (y0+1)2- 9 2 |

5

 …（9分）
所以當y₀=-1時，d取最大值

9 5

10

，…（10分）
所以△PAB的面積最大值為S=

1

2

×3

5

×

9 5

10

=27  …（11分）
此時P點坐標為（

1

4

，-1）．…（12分）

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是依據(jù)拋物線的定義求出兩點的坐標，熟練掌握兩點間距離公式，點到直線的距離公式，直線方程的求法對解答本題也很關(guān)鍵，本題考查了推理判斷的能力及符號運用的能力，運算量較大，直線與圓錐曲線的關(guān)系是近幾年高考對圓錐曲線考查的一個重要形式，題后要認真總結(jié)此類題的做題規(guī)律