Question

已知橢圓

x2

3

+

y2

4

=1與雙曲線12y²-4x²=3，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是它們的焦點(diǎn)，M是它們的一個(gè)交點(diǎn)，則△MF₁F₂是（　�。�

• A、銳角三角形
• B、鈍角三角形
• C、直角三角形
• D、等邊三角形

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)橢圓和雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，得到F₁，F(xiàn)₂是它們共同的焦點(diǎn)，分別的定義，對(duì)于橢圓|MF₁|+|MF₂|=4．對(duì)于雙曲線|MF₂|-|MF₂|=1．解得|MF₁|=

3

2

，|MF₂|=

5

2

，再根據(jù)勾股定理求出三角形為直角三角形

解答： 解：∵橢圓

x2

3

+

y2

4

=1，
∴對(duì)于橢圓a=2，c=

a2-b2

=

4-3

=1，
∴橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），（0，-1），
∵雙曲線12y²-4x²=3，轉(zhuǎn)化為

y2

1 4

-

x2

3 4

=1，
∴對(duì)于雙曲線a=

1

2

，c=

a2+b2

=1，
∴雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），（0，-1），
∴F₁，F(xiàn)₂是的坐標(biāo)為（0，1），（0，-1），
∴|F₁F₂|=2，
∵M(jìn)是橢圓

x2

3

+

y2

4

=1與雙曲線12y²-4x²=3，它們的一個(gè)交點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)在第一象限，
∴對(duì)于橢圓|MF₁|+|MF₂|=2a=4．對(duì)于雙曲線|MF₂|-|MF₂|=2a=1．
解得|MF₁|=

3

2

，|MF₂|=

5

2

，
∵(

3

2

)2+(

5

2

)2=4=2²，
∴|MF₁|²+|MF₂|²=|F₁F₂|²，
∴△MF₁F₂是直角三角形，
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題考查了根據(jù)橢圓和雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，以及定義，屬于基礎(chǔ)題