Question

2．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=$\frac{1}{2}$，{a_na_n+1}是公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=3a_2n+2n-7，S_n是數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求S_n以及S_n的最小值．

Answer 1

分析 （1）可求得$\frac{{{a_{n+2}}}}{a_n}=\frac{1}{2}$；從而可得隔項(xiàng)成等比數(shù)列，從而分別求通項(xiàng)公式；
（2）化簡(jiǎn)${b_n}=3{a_{2n}}+2n-7=3•{（\frac{1}{2}）^{\frac{2n}{2}}}+2n-7=\frac{3}{2^n}+2n-7$，從而利用拆項(xiàng)求和法求S_n，討論其單調(diào)性從而求最小值．

解答 解：（1）∵{a_na_n+1}是公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，
∴$\frac{{{a_{n+1}}{a_{n+2}}}}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{2}$，
即$\frac{{{a_{n+2}}}}{a_n}=\frac{1}{2}$；
∴a₁，a₃，a₅，a₇，…，a_2k-1，…是公比為$q=\frac{1}{2}$的等比數(shù)列；
a₂，a₄，a₆，a₈，…，a_2k，…是公比為$q=\frac{1}{2}$的等比數(shù)列．
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)n=2k-1（k∈N^*），
${a_n}={a_{2k-1}}={a_1}{q^{k-1}}={（\frac{1}{2}）^{k-1}}$=${（\frac{1}{2}）^{\frac{n+1}{2}-1}}={（\frac{1}{2}）^{\frac{n-1}{2}}}$；
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)n=2k（k∈N^*），
${a_n}={a_{2k}}={a_2}{q^{k-1}}={（\frac{1}{2}）^k}$=${（\frac{1}{2}）^{\frac{n}{2}}}$；
綜上，${a_n}=\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{\frac{n-1}{2}}}，n為奇數(shù)\\{（\frac{1}{2}）^{\frac{n}{2}}}，n為偶數(shù).\end{array}\right.$．
（2）${b_n}=3{a_{2n}}+2n-7=3•{（\frac{1}{2}）^{\frac{2n}{2}}}+2n-7=\frac{3}{2^n}+2n-7$．
S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=$（\frac{3}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{3}{2^3}+…+\frac{3}{2^n}）+2（1+2+3+…+n）-7n$
=$3•\frac{{\frac{1}{2}-\frac{1}{2^n}•\frac{1}{2}}}{{1-\frac{1}{2}}}+n（n+1）-7n$
=${n^2}-6n+3-\frac{3}{2^n}$．
即${S_n}={（n-3）^2}-6-\frac{3}{2^n}$．
當(dāng)n≥3時(shí)，∵（n-3）²-6和$-\frac{3}{2^n}$都是關(guān)于n的增函數(shù)，
∴當(dāng)n≥3時(shí)，S_n是關(guān)于n的增函數(shù)，即S₃＜S₄＜S₅＜…．
∵${S_1}=-\frac{7}{2}=-\frac{28}{8}$，${S_2}=-\frac{23}{4}=-\frac{46}{8}$，${S_3}=-\frac{51}{8}$，
∴S₁＞S₂＞S₃；
∴${（{S_n}）_{min}}={S_3}=-\frac{51}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了學(xué)生的化簡(jiǎn)運(yùn)算能力及分類討論的思想應(yīng)用，同時(shí)考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用．