Question

若整數m滿足不等式，則稱m為x的“親密整數”，記作{x}，即{x}=m，已知函數f（x）x-{x}．給出以下四個命題：
①函數y=f（x），x∈R是周期函數且其最小正周期為1；
②函數y=f（x），x∈R的圖象關于點（k，0），k∈Z中心對稱；
③函數y=f（x），x∈R在上單調遞增；
④方程在[-2，2]上共有7個不相等的實數根．
其中正確命題的序號是________．（寫出所有正確命題的序號）．

Answer 1

①④
分析：先通過歸納得出：{x}=m表示對x進行四舍五入后的整數，再在同一坐標系里作出函數f（x）=x-{x}和，x結合圖象討論四個命題的正確與否，由此可得本題的正確答案．
解答：當-＜x時，滿足不等式的“親密整數”m=0，
當＜x時，滿足不等式的“親密整數”m=1，…，
歸納得出：{x}=m表示對x進行四舍五入后的整數，
從而作出函數f（x）=x-{x}的圖象，是一些左開右閉的線段組成．如圖，

由圖象可得：
①函數y=f（x），x∈R是周期函數且其最小正周期為1；正確；
②函數y=f（x），x∈R的圖象不關于點（k，0），k∈Z中心對稱；不正確；
③函數y=f（x），x∈R在上不是單調遞增，因f（-）=1，f（）=1；故③錯誤；
④方程在[-2，2]上共有7個不相等的實數根，正確．
其中正確命題的序號是 ①④．
故答案為：①④．
點評：本題以三角函數和新定義的函數為例，考查了函數的周期性、單調性、對稱性、函數零點與方程根的個數的討論等知識點，屬于中檔題．采用數形結合法，是解決本題的關鍵．