Question

高三（1）班和高三（2）班各已選出3名學生組成代表隊，進行乒乓球?qū)�抗賽，比賽�?guī)則是：①按“單打、雙打、單打”順序進行三盤比賽；②代表隊中每名隊員至少參加一盤比賽，但不得參加兩盤單打比賽；③先勝兩盤的隊獲勝，比賽結(jié)束．已知每盤比賽雙方勝出的概率均為

1

2

．
（Ⅰ）根據(jù)比賽規(guī)則，高三（1）班代表隊共可排出多少種不同的出場陣容？
（Ⅱ）高三（1）班代表隊連勝兩盤的概率為多少？
（Ⅲ）設(shè)高三（1）班代表隊獲勝的盤數(shù)為ξ，求ξ的分布列和期望．

Answer 1

分析：（1）本題要應用分步計數(shù)原理，先排出參加單打的隊員，由于代表隊中每名隊員至少參加一盤比賽，但不得參加兩盤單打比賽，排出參加雙打的隊員，根據(jù)分步計數(shù)原理得到結(jié)果．
（2）高三（1）班代表隊連勝兩盤，可分為第一盤、第二盤勝或第一盤負，其余兩盤勝．根據(jù)相互獨立事件同時發(fā)生的概率和互斥事件的概率公式，得到結(jié)果．
（3）因為高三（1）班代表隊獲勝的盤數(shù)為ξ，由于先勝兩盤的隊獲勝比賽結(jié)束，得到變量的可能取值，類似于第二問得到概率，寫出分布列和期望．

解答：解：（Ⅰ）由題意知參加單打的隊員有A₃²種方法，參加雙打的隊員有C₂¹種方法．
∴根據(jù)分步計數(shù)原理得到
高三（1）班出場陣容共有A₃²•C₂¹=12（種）．
（Ⅱ）高三（1）班代表隊連勝兩盤，可分為第一盤、第二盤勝或第一盤負，其余兩盤勝．
∴連勝兩盤的概率為

1

2

×

1

2

+

1

2

×

1

2

×

1

2

=

3

8

.
（Ⅲ）ξ的取值可能為0，1，2．
P(ξ=0)=

1

2

×

1

2

=

1

4

．
P(ξ=1)=

1

2

×

1

2

×

1

2

+

1

2

×

1

2

×

1

2

=

1

4

．
P(ξ=2)=

1

2

×

1

2

+

1

2

×

1

2

×

1

2

+

1

2

×

1

2

×

1

2

=

1

2

.
∴ξ的分布列為

∴Eξ=0×

1

4

+1×

1

4

+2×

1

2

=

5

4

．

點評：本題是一個綜合題，求離散型隨機變量的分布列和期望是近年來理科高考必出的一個問題，題目做起來不難，運算量也不大，只要注意解題格式就問題不大．