分析 (1)將直線y=x+√3代入橢圓方程,得到x的方程,由直線和橢圓相切的條件:判別式為0,解方程可得a的值;
(2)①設(shè)切點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),可得切線l1:x1x+2y1y=2,l2:x2x+2y2y=2,再由M代入上式,結(jié)合兩點(diǎn)確定一條直線,可得切點(diǎn)弦方程,即有AB的斜率,結(jié)合兩點(diǎn)的斜率公式,即可得證;
②由①可得AB的方程為x+my=1,運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式和直線與橢圓方程聯(lián)立,運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式,求得△OAB的面積,化簡(jiǎn)整理,運(yùn)用基本不等式即可得到所求最大值.
解答 解:(1)將直線y=x+√3代入橢圓方程x2+a2y2=a2,
可得(1+a2)x2+2√3a2x+2a2=0,
由直線和橢圓相切,可得
△=12a4-4(1+a2)•2a2=0,
解得a=√2(由a>1);
(2)①證明:設(shè)切點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),
可得切線l1:x1x+2y1y=2,
l2:x2x+2y2y=2,
由l1與l2交于點(diǎn)M(2,m),可得
2x1+2my1=2,2x2+2my2=2,
由兩點(diǎn)確定一條直線,可得AB的方程為2x+2my=2,
即為x+my=1,
即有k1=-1m,k2=m2,可得k1k2為定值-12;
②由①可得AB的方程為x+my=1,
原點(diǎn)到直線AB的距離為d=1√1+m2,
由{x+my=1x2+2y2=2消去x,可得(2+m2)y2-2my-1=0,
y1+y2=2m2+m2,y1y2=-12+m2,
可得|AB|=√1+m2•√(y1+y2)2−4y1y2=√1+m2•√8(1+m2)(2+m2)2=2√2(1+m2)2+m2,
可得△OAB的面積S=12d|AB|=√2•√1+m22+m2,
設(shè)t=√1+m2(t≥1),
S=√2t1+t2=√2t+1t≤√22,
當(dāng)且僅當(dāng)t=1即m=0時(shí),S取得最大值√22.
點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和橢圓的位置關(guān)系的判斷,考查直線和橢圓相切的條件:判別式為0,以及切線的方程的運(yùn)用,同時(shí)考查直線和橢圓相交的弦長(zhǎng)公式和三角形的面積的最值的求法,注意運(yùn)用基本不等式,屬于中檔題.
年級(jí) | 高中課程 | 年級(jí) | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | √3 | B. | 3 | C. | √5 | D. | 5 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | [5π3,2π] | B. | [4π3,2π] | C. | [4π3,8π3] | D. | [2π,8π3] |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無(wú)主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com