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2.教材器有介紹:圓x2+y2=r2上的點(diǎn)(x0,y0)處的切線方程為x0x+y0y=r2,我們將其結(jié)論推廣:橢圓x2a2+y22=1(a>b>0)上的點(diǎn)(x0,y0)處的切線方程為x0xa2+y0y2=1,在解本題時(shí)可以直接應(yīng)用.已知,直線x-y+3=0與橢圓Ex2a2+y2=1(a>1)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)
(1)求a的值;
(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)橢圓E上的兩點(diǎn)A、B分別作該橢圓的兩條切線l1,l2,且l1與l2交于點(diǎn)M(2,m)
①設(shè)m≠0,直線AB、OM的斜率分別為k1,k2,求證:k1k2為定值
②設(shè)m∈R,求△OAB的面積的最大值.

分析 (1)將直線y=x+3代入橢圓方程,得到x的方程,由直線和橢圓相切的條件:判別式為0,解方程可得a的值;
(2)①設(shè)切點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),可得切線l1:x1x+2y1y=2,l2:x2x+2y2y=2,再由M代入上式,結(jié)合兩點(diǎn)確定一條直線,可得切點(diǎn)弦方程,即有AB的斜率,結(jié)合兩點(diǎn)的斜率公式,即可得證;
②由①可得AB的方程為x+my=1,運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式和直線與橢圓方程聯(lián)立,運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式,求得△OAB的面積,化簡(jiǎn)整理,運(yùn)用基本不等式即可得到所求最大值.

解答 解:(1)將直線y=x+3代入橢圓方程x2+a2y2=a2,
可得(1+a2)x2+23a2x+2a2=0,
由直線和橢圓相切,可得
△=12a4-4(1+a2)•2a2=0,
解得a=2(由a>1);
(2)①證明:設(shè)切點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),
可得切線l1:x1x+2y1y=2,
l2:x2x+2y2y=2,
由l1與l2交于點(diǎn)M(2,m),可得
2x1+2my1=2,2x2+2my2=2,
由兩點(diǎn)確定一條直線,可得AB的方程為2x+2my=2,
即為x+my=1,
即有k1=-1m,k2=m2,可得k1k2為定值-12;
②由①可得AB的方程為x+my=1,
原點(diǎn)到直線AB的距離為d=11+m2,
{x+my=1x2+2y2=2消去x,可得(2+m2)y2-2my-1=0,
y1+y2=2m2+m2,y1y2=-12+m2,
可得|AB|=1+m2y1+y224y1y2=1+m281+m22+m22=221+m22+m2,
可得△OAB的面積S=12d|AB|=21+m22+m2
設(shè)t=1+m2(t≥1),
S=2t1+t2=2t+1t22,
當(dāng)且僅當(dāng)t=1即m=0時(shí),S取得最大值22

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和橢圓的位置關(guān)系的判斷,考查直線和橢圓相切的條件:判別式為0,以及切線的方程的運(yùn)用,同時(shí)考查直線和橢圓相交的弦長(zhǎng)公式和三角形的面積的最值的求法,注意運(yùn)用基本不等式,屬于中檔題.

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