Question

若函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=xlnx，則不等式f（x）＜-e的解集為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由奇函數(shù)的性質(zhì)f（-x）=-f（x），求出函數(shù)f（x）的解析式，對(duì)x＞0時(shí)的解析式求出f′（x），并判斷出函數(shù)的單調(diào)性和極值，再由奇函數(shù)的圖象特征畫(huà)出函數(shù)f（x）的圖象，根據(jù)圖象和特殊的函數(shù)值求出不等式的解集．

解答： 解：設(shè)x＜0，則-x＞0，
∵當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=xlnx，∴f（-x）=-xln（-x），
∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，∴f（x）=-f（x）=xln（-x），
則f(x)=

xlnx，x＞0 xln(-x)，x＜0

，
當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）=lnx+x×

1

x

=lnx+1，
令f′（x）=0得，x=

1

e

，
當(dāng)0＜x＜

1

e

時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x＞

1

e

時(shí)，f′（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）在（0，

1

e

）上遞減，在（

1

e

，+∞）上遞增，
當(dāng)x=

1

e

時(shí)取到極小值，f（

1

e

）=

1

e

ln

1

e

=-

1

e

＞-e，
再由函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，畫(huà)出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
∵當(dāng)x＞0時(shí)，當(dāng)x=

1

e

時(shí)取到極小值，
f（

1

e

）=

1

e

ln

1

e

=-

1

e

＞-e，
∴不等式f（x）＜-e在（0，+∞）上無(wú)解，在（-∞，0）上有解，
∵f（-e）=（-e）ln[-（-e）]=-e，
∴不等式f（x）＜-e解集是：
（-∞，-e），
故答案為：（-∞，-e）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性的綜合運(yùn)用，以及導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想．