Question

定長為3的線段MN的兩個端點M、N分別在x軸、y軸上滑動，動點P滿足

NP

=2

PM

．
（1）求點P的軌跡方程；
（2）點P的軌跡設為曲線T，設△ABC是曲線T的內(nèi)接三角形，其中A是T與x軸正半軸的交點．直線AB、AC斜率的乘積為-

1

4

，求證△ABC的重心G為定點．

Answer 1

考點：軌跡方程,直線與圓錐曲線的關系

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設M（x₀，0），N（0，y₀），P（x，y），由

NP

=2

PM

得，（x，y-y₀）=2（x₀-x，-y），由此能求出點P的軌跡方程．
（2）設B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），直線BC的方程為y=kx+b，代入橢圓方程，利用直線AB、AC斜率的乘積為-

1

4

，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）設M（x₀，0），N（0，y₀），P（x，y），
由

NP

=2

PM

得，（x，y-y₀）=2（x₀-x，-y），
所以x₀=1.5x，y₀=3y，
又因為x₀²+y₀²=9，所以（1.5x）²+（3y）²=9，
化簡得：

x2

4

+y2=1，這就是點P的軌跡方程；
（2）設B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），直線BC的方程為y=kx+b，
代入橢圓方程可得（1+4k²）x²+8kbx+4b²-4=0
所以x₁+x₂=-

8kb

1+4k2

，x₁x₂=

4b2-4

1+4k2

，
所以y₁y₂=

b2-4k2

1+4k2

，
因為直線AB、AC斜率的乘積為-

1

4

，
所以

y1

x1-2

•

y2

x2-2

=-

1

4

，
所以-4y₁y₂=x₁x₂-2（x₁+x₂）+4，
所以-4×

b2-4k2

1+4k2

=

4b2-4

1+4k2

+

16kb

1+4k2

+4，
所以b=0或b=-2k，
b=0，則x₁+x₂=0，y₁+y₂=0，所以△ABC的重心G（

2

3

，0）為定點．
b=-2k，則直線BC的方程為y=kx-2k過（2，0），不符合題意．

點評：本題考查點的軌跡方程的求法，考查橢圓方程，考查直線與橢圓的位置關系，難度大．