Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

6

3

，長軸長為2

3

，直線l：y=kx+2交橢圓于不同的A，B兩點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）O是坐標(biāo)原點(diǎn)，求△AOB面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)橢圓的半焦距為c，由題知a=

3

，

c

a

=

6

3

，解得c，求出b，即可求橢圓的方程；
（2）直線l：y=kx+2與橢圓聯(lián)立，表示出△AOB面積，利用韋達(dá)定理，結(jié)合換元，基本不等式，即可求△AOB面積的最大值．

解答： 解：（1）設(shè)橢圓的半焦距為c，由題知a=

3

，

c

a

=

6

3

，解得c=

2

．
∴b=1，
∴所求橢圓方程為

x2

3

+y2=1---------------（4分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直線l：y=kx+2與橢圓聯(lián)立可得1+3k²）x²+12kx+9=0
∴x₁+x₂=-

12k

1+3k2

，x₁x₂=

9

1+3k2

---------------（6分）
又原點(diǎn)到直線l：y=kx+2的距離d=

2

1+k2

∴△AOB的面積S=

1

2

1+k2

|x₁-x₂|d=|x₁-x₂|=

36(k2-1) (1+3k2)2

令t=k²（t＞1），則S²=

36(t-1)

9t2+6t+1

=

36

9(t-1)+ 16 t-1 +24

≤

36

24+24

=

3

4

-----------------（8分）
當(dāng)且僅當(dāng)t=

7

3

，即k=±

21

3

時(shí)，△AOB面積的最大值為

3

2

．--------------（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程，考查三角形面積的計(jì)算，考查基本不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．