Question

【題目】已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1+a2=6，a1a2=a3 ．
（1）求數(shù)列{an}通項(xiàng)公式；
（2）{bn} 為各項(xiàng)非零的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn ， 已知S2n+1=bnbn+1 ， 求數(shù)列 的前n項(xiàng)和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：記正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的公比為q，

因?yàn)閍1+a2=6，a1a2=a3，

所以（1+q）a1=6，q =q2a1，

解得：a1=q=2，

所以an=2n；

（2）

因?yàn)閧bn} 為各項(xiàng)非零的等差數(shù)列，

所以S2n+1=（2n+1）bn+1，

又因?yàn)镾2n+1=bnbn+1，

所以bn=2n+1， = ，

所以Tn=3 +5 +…+（2n+1） ，

Tn=3 +5 +…+（2n﹣1） +（2n+1） ，

兩式相減得： Tn=3 +2（ + +…+ ）﹣（2n+1） ，

即 Tn=3 +（ + + +…+ ）﹣（2n+1） ，

即Tn=3+1+ + + +…+ ）﹣（2n+1） =3+ ﹣（2n+1）

=5﹣ ．

【解析】（1）通過首項(xiàng)和公比，聯(lián)立a1+a2=6、a1a2=a3 ， 可求出a1=q=2，進(jìn)而利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得結(jié)論；（2）利用等差數(shù)列的性質(zhì)可知S2n+1=（2n+1）bn+1 ， 結(jié)合S2n+1=bnbn+1可知bn=2n+1，進(jìn)而可知 = ，利用錯(cuò)位相減法計(jì)算即得結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解等比數(shù)列的通項(xiàng)公式（及其變式）的相關(guān)知識(shí)，掌握通項(xiàng)公式：，以及對(duì)數(shù)列的前n項(xiàng)和的理解，了解數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系．