Question

自然狀態(tài)下的魚類是一種可再生的資源，為了持續(xù)利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強(qiáng)度對魚群總量的影響．用x_n表示某魚群在第n年初的總量，n∈N^*，且x₁＞0．不考慮其他因素，設(shè)在第n年內(nèi)魚群的繁殖量及被捕撈量都與x_n成正比，死亡量與x_n²成正比，這些比例系數(shù)依次為正數(shù)a，b，c其中b稱為捕撈強(qiáng)度．
（1）求x_n+1與x_n的關(guān)系式；
（2）設(shè)a=2，c=1，為了保證對任意x₁∈（0，2），都有x_n＞0，n∈N^*，則捕撈強(qiáng)度B的最大允許值是多少？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）依題意，x_n+1-x_n=ax_n-bx_n-cxn2，n∈N^*，整理即可；
（2）由x_n+1=x_n（3-b-x_n）＞0（n∈N^*）⇒0＜x_n＜3-b，特別地有0＜x₁＜3-b，從而可得0＜b＜3-x₁（x₁∈（0，2）），從而可得b∈（0，1]，利用數(shù)學(xué)歸納法去證當(dāng)b=1時(shí)，恒有2＞x_n＞0，n∈N^*，由此確定b的允許最大值是1即可．

解答：解：（1）從第n年初到第n+1年初，魚群的繁殖量為ax_n，被捕撈量為bx_n，死亡量為cxn2，依題意：
x_n+1-x_n=ax_n-bx_n-cxn2，n∈N^*，
即x_n+1=x_n（a-b+1-cx_n），n∈N^*．
（2）若b的值使得x_n＞0，n∈N^*，
由x_n+1=x_n（3-b-x_n）＞0（n∈N^*）知0＜x_n＜3-b，特別地有0＜x₁＜3-b，
即0＜b＜3-x₁，
而x₁∈（0，2），所以b∈（0，1]，以下去證當(dāng)b=1時(shí)，恒有2＞x_n＞0，n∈N^*，由此確定b的允許最大值是1．
①當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，即x₁∈（0，2）．
則當(dāng)n=k+1時(shí)，x_k+1=x_k（2-x_k）=1-(xk-1)2，
因?yàn)閤_k∈（0，2），所以x_k+1∈（0，1）⊆（0，2）．
故當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也成立．
由①②可知對于任意n∈N^*恒有2＞x_n＞0．
綜上，為了保證對任意x₁∈（0，2），都有x_n＞0，n∈N^*，則捕撈強(qiáng)度b的最大允許值是1．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系，著重考查化歸思想與抽象思維、創(chuàng)新思維，突出數(shù)學(xué)歸納法在推理、證明中的應(yīng)用，屬于難題．