Question

19．設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S₅=5S₂，2a₁+1=a₃．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）通過聯(lián)立S₅=5S₂、2a₁+1=a₃，計算可知a₁=d=1，進(jìn)而計算可得結(jié)論；
（2）通過（1）裂項可知b_n=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，進(jìn)而并項相加即得結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵S₅=5S₂，2a₁+1=a₃，
∴5a₁+10d=5（2a₁+d），2a₁+1=a₁+2d，
整理得：a₁=d=1，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=n；
（2）由（1）可知b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴T_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查裂項相消法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．