已知四棱錐的三視圖如下圖所示,是側(cè)棱上的動點.

(1) 求四棱錐的體積;

(2) 是否不論點在何位置,都有?證明你的結(jié)論;

(3) 若點的中點,求二面角的大小.

解:(1) 由三視圖可知,四棱錐的底面是邊長為1的正方形,

側(cè)棱底面,且.                    …………2分

,

即四棱錐的體積為.                 …………4分

(2) 不論點在何位置,都有.               …………5分

證明如下:連結(jié),∵是正方形,∴.         

底面,且平面,∴.      

又∵,∴平面.                   …………8分

∵不論點在何位置,都有平面

∴不論點在何位置,都有.                     …………9分

(3) 解法1:在平面內(nèi)過點,連結(jié).

,,

∴Rt△≌Rt△,

從而△≌△,∴.

為二面角的平面角.            …………12分

在Rt△中,,

,在△中,由余弦定理得

,    …………13分

,即二面角的大小為.  …………14分

(3)解法2:建立空間直角坐標系如圖

.使C(0,0,0),,從而

,,. …………10分

設平面和平面的法向量分別為

,

,取.      …………11分

,取.  …………12分

設二面角的平面角為,則,         …………13分

  ∴,即二面角的大小為.        …………14分

練習冊系列答案
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圖6

 

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A.             B.             C.              D.   

 

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