Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lo{g}_{3}x|\\;0＜x＜3}\\{sin（\frac{π}{6}x）\\;3≤x≤15}\end{array}\right.$，若存在實數(shù)x₁，x₂，x₃，x₄滿足f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=f（x₄），其中x₁＜x₂＜x₃＜x₄，則x₁x₂x₃x₄取值范圍是（　　）

• A． （60，96）
• B． （45，72）
• C． （30，48）
• D． （15，24）

Answer 1

分析 先畫出函數(shù)f（x）的圖象，再根據(jù)條件利用對數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)以及三角函數(shù)的對稱性，利用數(shù)形結合，即可求出其范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）的圖象如下圖所示：
若滿足f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=f（x₄），其中x₁＜x₂＜x₃＜x₄，
則0＜x₁＜1，1＜x₁＜3，
則log₃x₁=-log₃x₂，即log₃x₁+log₃x₂=log₃x₁x₂=0，
則x₁x₂=1，
同時x₃∈（3，6），x₄∈（12，15），
∵x₃，x₄關于x=9對稱，∴$\frac{{x}_{3}+{x}_{4}}{2}$=9，
則x₃+x₄=18，則x₄=18-x₃，
則x₁x₂x₃x₄=x₃x₄=x₃（18-x₃）=-x₃²+18x₃=-（x₃-9）²+81，
∵x₃∈（3，6），
∴x₃x₄∈（45，72），
即x₁x₂x₃x₄∈（45，72），
故選：B．

點評 本題考查的知識點是分段函數(shù)的應用，由題意正確畫出圖象和熟練掌握對數(shù)函數(shù)的圖象是解題的關鍵．利用對數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)以及三角函數(shù)的對稱性進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關鍵．