定義在R上的單調(diào)函數(shù)f(x)滿足f(3)=log23且對(duì)任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y).
(1)求證f(x)為奇函數(shù);
(2)若f(k·3)+f(3-9-2)<0對(duì)任意x∈R恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
(1)見(jiàn)解析
(2) R恒成立.
【解析】(1)證明奇偶性根據(jù)定義,可根據(jù)x,y取值的任意性,給x,y賦值,顯然可以令y=-x,所以需要令x=y=0,求出f(0)的值.問(wèn)題基本就可以解決.
(2)本小題可根據(jù)奇函數(shù)這個(gè)條件把不等式轉(zhuǎn)化為,然后再研究函數(shù)f(x)的單調(diào)性,利用單調(diào)性把不等式中函數(shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為變量的大小關(guān)系,從而脫掉法則符號(hào)f,求解即可
(1)證明:f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R), ①
令x=y=0,代入①式,得f(0+0)=f(0)+f(0),即 f(0)=0.
令y=-x,代入①式,得 f(x-x)=f(x)+f(-x),又f(0)=0,則有
0=f(x)+f(-x).即f(-x)=-f(x)對(duì)任意x∈R成立,所以f(x)是奇函數(shù).
(2)解:f(3)=log3>0,即f(3)>f(0),又f(x)在R上是單調(diào)函數(shù),所以f(x)在R上是增函數(shù),又由(1)f(x)是奇函數(shù).
f(k·3)<-f(3-9-2)=f(-3+9+2), k·3<-3+9+2,
3-(1+k)·3+2>0對(duì)任意x∈R成立.
令t=3>0,問(wèn)題等價(jià)于t-(1+k)t+2>0對(duì)任意t>0恒成立.
R恒成立
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2-x | x |
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3 | 2 |
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1 |
f(-2-an) |
1 |
2 |
1 |
a1a2 |
1 |
a2a3 |
1 |
anan+1 |
4 |
3 |
1 |
an+1 |
1 |
an+2 |
1 |
a2n |
12 |
35 |
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1 |
f(n) |
1 |
2n |
4 |
3 |
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