已知拋物線y2=2px（p＞0）的準(zhǔn)線方程是x=-
12
，直線x-y-2=0與拋物線相交于M，N兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的方程；
（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：OM⊥ON．
分析：（1）y2=2px（p＞0）的準(zhǔn)線方程為x=-
p
2
，故p=1．由此能求出拋物線方程．
（2）將x=y+2代入y2=2x，得y2-2y-4=0，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則y1y2=-4，由y12=2x1，y22=2x2，得x1x2=
(y1y2)2
4
=4，由此能導(dǎo)出OM⊥ON．
解答：解：（1）∵y2=2px（p＞0）的準(zhǔn)線方程為x=-
p
2
，
∴p=1．
∴拋物線方程為y2=2x．
（2）證明：將x=y+2代入y2=2x，消去x，整理，得y2-2y-4=0，
設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），
∵M(jìn)，N的縱坐標(biāo)y1，y2是y2-2y-4=0的兩個(gè)根，
∴y1y2=-4，
由y12=2x1，y22=2x2，得
y12y22=4x1x2，
∴x1x2=
(y1y2)2
4
=4，
∵
OM
•
ON
=x1x2+y1y2=0，
∴
OM
⊥
ON
，
∴OM⊥ON．
點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線方程的求法和直線垂直的證明，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意直線和拋物線位置關(guān)系的綜合運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
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已知拋物線y2=2px（p＞0）．過動(dòng)點(diǎn)M（a，0）且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B，|AB|≤2p．
（1）求a的取值范圍；
（2）若線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N，求△NAB面積的最大值．

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（1）求拋物線上任意一點(diǎn)Q到定點(diǎn)N（2p，0）的最近距離；
（2）過點(diǎn)F作一直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，并在準(zhǔn)線l上任取一點(diǎn)M，當(dāng)M不在x軸上時(shí)，證明：
kMA+kMBkMF
是一個(gè)定值，并求出這個(gè)值．（其中kMA，kMB，kMF分別表示直線MA，MB，MF的斜率）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線y2=2px（p＞0）．過動(dòng)點(diǎn)M（a，0）且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B，|AB|≤2p．求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•聊城一模）已知拋物線y2=2px（p＞0），過點(diǎn)M（2p，0）的直線與拋物線相交于A，B，
OA
•
OB
=
0
0
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線y2=2px（p＞0），M（2p，0），A、B是拋物線上的兩點(diǎn)．求證：直線AB經(jīng)過點(diǎn)M的充要條件是OA⊥OB，其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)．

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