【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣sinx,記f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x).
(1)若h(x)=axf'(x)是(0,+∞)上的單調(diào)遞增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若x∈(0,2π),試判斷函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù),并說明理由.
【答案】(1)a≥1;(2)函數(shù)f(x)在(0,2π)上有且僅有唯一的極大值點(diǎn),無極小值點(diǎn);理由詳見解析
【解析】
(1)只需h′(x)≥0在(0,+∞)恒成立,借助于三角函數(shù)的有界性,問題可解決.
(2)分x∈(0,1),,,四種情形分別研究f(x)的單調(diào)性,進(jìn)而得出結(jié)論.
解:(1)∵,
∴ax+cosx,因?yàn)?/span>h(x)是(0,+∞)上的單調(diào)遞增函數(shù),
∴h′(x)=a﹣sinx≥0(x>0)恒成立,因?yàn)?/span>sinx∈[﹣1,1],
故a≥1時(shí),h′(x)≥0恒成立,且導(dǎo)數(shù)為0時(shí)不連續(xù).
故a≥1即為所求.
(2)由(1)知,,
①當(dāng)x∈(0,1]時(shí),f′(x)≥1﹣cosx>0,
此時(shí)函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,無極值點(diǎn);
②當(dāng)時(shí),則,
∵,而由三角函數(shù)的性質(zhì)可知,,
∴,
此時(shí)函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,無極值點(diǎn);
③當(dāng)時(shí),cosx<0,則,
此時(shí)函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,無極值點(diǎn);
④當(dāng)時(shí),令,則,
∴函數(shù)g(x)單調(diào)遞減,
又,
∴存在唯一的,使得g(x0)=0,
且當(dāng)時(shí),g(x)=f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,
當(dāng)x∈(x0,2π)時(shí),g(x)=f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,
故x0是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn),
綜上所述,函數(shù)f(x)在(0,2π)上有且僅有唯一的極大值點(diǎn),無極小值點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若有平面與,,,,,則下列命題中真命題的序號(hào)有________.(1)過點(diǎn)且垂直于的直線平行于;(2)過點(diǎn)且垂直于的平面垂直于;(3)過點(diǎn)且垂直于的直線在內(nèi);(4)過點(diǎn)且垂直于的直線在內(nèi).
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【題目】
已知數(shù)列{an}和{bn}滿足:a1=λ,an+1=其中λ為實(shí)數(shù),n為正整數(shù).
(Ⅰ)對(duì)任意實(shí)數(shù)λ,證明數(shù)列{an}不是等比數(shù)列;
(Ⅱ)試判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列,并證明你的結(jié)論;
(Ⅲ)設(shè)0<a<b,Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.是否存在實(shí)數(shù)λ,使得對(duì)任意正整數(shù)n,都有
a<Sn<b?若存在,求λ的取值范圍;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn),是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),是坐標(biāo)原點(diǎn),向量,滿足.設(shè)圓的方程為.
(1)證明線段是圓的直徑;
(2)當(dāng)圓的圓心到直線的距離的最小值為時(shí),求的值.
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【題目】若關(guān)于x的不等式2lnx≤ax2+(2a﹣2)x+1恒成立,則a的最小整數(shù)值是( )
A.0B.1C.2D.3
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【題目】如圖,在平行四邊形中,,,現(xiàn)沿對(duì)角線將折起,使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P,點(diǎn)M,N分別在直線,上,且A,B,M,N四點(diǎn)共面.
(1)求證:;
(2)若平面平面,二面角平面角大小為,求直線與平面所成角的正弦值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2+2ax﹣lnx﹣1,a∈R.
(1)當(dāng)a時(shí),求f(x)的單調(diào)區(qū)間及極值;
(2)若a為整數(shù),且不等式f(x)≥x對(duì)任意x∈(0,+∞)恒成立,求a的最小值.
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【題目】某大型公司為了切實(shí)保障員工的健康安全,貫徹好衛(wèi)生防疫工作的相關(guān)要求,決定在全公司范圍內(nèi)舉行一次乙肝普查,為此需要抽驗(yàn)960人的血樣進(jìn)行化驗(yàn),由于人數(shù)較多,檢疫部門制定了下列兩種可供選擇的方案.
方案①:將每個(gè)人的血分別化驗(yàn),這時(shí)需要驗(yàn)960次.
方案②:按個(gè)人一組進(jìn)行隨機(jī)分組,把從每組個(gè)人抽來的血混合在一起進(jìn)行檢驗(yàn),如果每個(gè)人的血均為陰性,則驗(yàn)出的結(jié)果呈陰性,這個(gè)人的血就只需檢驗(yàn)一次;否則,若呈陽性,則需對(duì)這個(gè)人的血樣再分別進(jìn)行一次化驗(yàn),這樣,該組個(gè)人的血總共需要化驗(yàn)次.
假設(shè)此次普查中每個(gè)人的血樣化驗(yàn)呈陽性的概率為,且這些人之間的試驗(yàn)反應(yīng)相互獨(dú)立.
(1)設(shè)方案②中,某組個(gè)人中每個(gè)人的血化驗(yàn)次數(shù)為,求的分布列;
(2)設(shè),試比較方案②中,分別取2,3,4時(shí),各需化驗(yàn)的平均總次數(shù);并指出在這三種分組情況下,相比方案①,化驗(yàn)次數(shù)最多可以平均減少多少次?(最后結(jié)果四舍五入保留整數(shù)).
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