Question

13．已知動圓P的圓心為點P，圓P過點F（1，0）且與直線l：x=-1相切．
（Ⅰ）求點P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）若圓P與圓F：（x-1）²+y²=1相交于M，N兩點，求|MN|的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)拋物線的定義，可得點P的軌跡是以點F為焦點，直線l：x=-1為準線的拋物線，即可求點P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）利用弦長公式求得|MN|，利用${|{PF}|^2}={（{{x_0}-1}）^2}+y_0^2$=$x_0^2-2{x_0}+1+4{x_0}$=${（{{x_0}+1}）^2}$≥1，求|MN|的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）依題意，點P到點F（1，0）的距離等于點P到直線l的距離，…（1分）
∴點P的軌跡是以點F為焦點，直線l：x=-1為準線的拋物線．…（2分）
∴曲線C的方程為y²=4x．…（3分）
（Ⅱ）設點P（x₀，y₀），點F到直線MN的距離為d，
則點P到直線MN的距離為|PF|-d．…（4分）
∵圓F：（x-1）²+y²=1的半徑為1，圓P的半徑為|PF|，
∴|MN|=$2\sqrt{1-{d^2}}=2\sqrt{{{|{PF}|}^2}-{{（{|{PF}|-d}）}^2}}$．…（5分）
∴1-d²=|PF|²-（|PF|-d）²，化簡得$d=\frac{1}{{2|{PF}|}}$．…（6分）
∴|MN|=$2\sqrt{1-{d^2}}=2\sqrt{1-\frac{1}{{4{{|{PF}|}^2}}}}$．…（7分）
∵點P（x₀，y₀）在曲線C：y²=4x上，
∴$y_0^2=4{x_0}$，且x₀≥0．
∴${|{PF}|^2}={（{{x_0}-1}）^2}+y_0^2$=$x_0^2-2{x_0}+1+4{x_0}$=${（{{x_0}+1}）^2}$≥1．…（9分）
∴$0＜\frac{1}{{4{{|{PF}|}^2}}}≤\frac{1}{4}$．…（10分）
∴$\frac{3}{4}≤1-\frac{1}{{4{{|{PF}|}^2}}}＜1$．…（11分）
∴$\sqrt{3}≤|{MN}|＜2$．
∴|MN|的取值范圍為$[{\sqrt{3}，2}）$．…（12分）

點評 本題考查軌跡方程，考查拋物線定義的運用，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學生分析解決問題的能力，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．