已知橢圓具有性質：若M、N是橢圓C：+=1（a＞b＞0）上關于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM、kPN時，那么kPM與kPN之積是與點P位置無關的定值．試對雙曲線C′：-=1寫出具有類似特性的性質，并加以證明．
【答案】分析：設點M的坐標為（m，n），則點N的坐標為（-m，-n），進而可知-=1、又設點P的坐標為（x，y），表示出直線PM和PN的斜率，求的兩直線斜率乘積的表達式，把y和x的表達式代入發(fā)現(xiàn)結果與p無關．
解答：解：類似的性質為若MN是雙曲線-=1上關于原點對稱的兩個點，點P是雙曲線上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM、kPN時，那么kPM與kPN之積是與點P位置無關的定值．
設點M的坐標為（m，n），則點N的坐標為（-m，-n），
其中-=1、又設點P的坐標為（x，y），
由kPM=，kPN=，
得kPM•kPN=•=，
將y2=x2-b2，n2=m2-b2，代入得kPM•kPN=．
點評：本題主要考查了圓錐曲線的共同特征．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓具有性質：若M、N是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上關于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM、kPN時，那么kPM與kPN之積是與點P位置無關的定值．試對雙曲線C′：
x2
a2
-
y2
b2
=1寫出具有類似特性的性質，并加以證明．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2010•南寧二模）設F1、F2分別為橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右兩個焦點．
（Ⅰ）若橢圓C上的點A（1，
3
2
）到F1、F2兩點的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點坐標；
（Ⅱ）設點P是（Ⅰ）中所得橢圓上的動點，Q（0，
1
2
），求|PQ|的最大值；
（Ⅲ）已知橢圓具有性質：若M、N是橢圓C上關于原點對稱的兩個點，點P在橢圓上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為KPM、KPN時，那么KPM與KPN之積是與點P位置無關的定值．設對雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1寫出具有類似特性的性質（不必給出證明）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓具有性質：若A是橢圓C的一條與x軸不垂直的弦的中點，那么該弦的斜率等于點A的橫、縱坐標的比值與某一常數(shù)的積．試對雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1寫出具有類似特性的性質，并加以證明．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓具有性質：若A，B是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0且a，b為常數(shù)）上關于原點對稱的兩點，點P是橢圓上的任意一點，若直線PA和PB的斜率都存在，并分別記為kPA，kPB，那么kPA與kPB之積是與點P位置無關的定值-
b2
a2
．試對雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0且a，b為常數(shù)）寫出類似的性質，并加以證明．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓具有性質：若M、N是橢圓C上關于原點對稱的兩個點，P是橢圓上任意一點，則當直線PM，PN的斜率都存在時，其乘積恒為定值．類比橢圓，寫出雙曲線C′：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的類似性質，并加以證明．

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