Question

16．已知非零向量$\overrightarrow{e_1}$，$\overrightarrow{e_2}$，$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$滿足$\overrightarrow a$=2$\overrightarrow{e_1}$-$\overrightarrow{e_2}$，$\overrightarrow b$=k$\overrightarrow{e_1}$+$\overrightarrow{e_2}$，給出以下結論：
①若$\overrightarrow{e_1}$與$\overrightarrow{e_2}$不共線，$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$共線，則k=-2；
②若$\overrightarrow{e_1}$與$\overrightarrow{e_2}$不共線，$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$共線，則k=2；
③存在實數k，使得$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$不共線，$\overrightarrow{e_1}$與$\overrightarrow{e_2}$共線；
④不存在實數k，使得$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$不共線，$\overrightarrow{e_1}$與$\overrightarrow{e_2}$共線．
其中正確結論的個數是（　�。�

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 利用向量共線，列出方程，求出k判斷①②是正誤；利用$\overrightarrow{e_1}$與$\overrightarrow{e_2}$共線，推出$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的關系，求出k，判斷③④的正誤．

解答 解：非零向量$\overrightarrow{e_1}$，$\overrightarrow{e_2}$，$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$滿足$\overrightarrow a$=2$\overrightarrow{e_1}$-$\overrightarrow{e_2}$，$\overrightarrow b$=k$\overrightarrow{e_1}$+$\overrightarrow{e_2}$，
$\overrightarrow{e_1}$與$\overrightarrow{e_2}$不共線，$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$共線，可得：λ$\overrightarrow a$=$\overrightarrow b$，即：2λ=k，-λ=1，解得k=-2．
所以①正確，②錯誤；
$\overrightarrow{e_1}$與$\overrightarrow{e_2}$共線；
可得：$\overrightarrow{e_1}$=m$\overrightarrow{e_2}$，$\overrightarrow a$=2$\overrightarrow{e_1}$-$\overrightarrow{e_2}$=（m-1）$\overrightarrow{e_2}$，
$\overrightarrow b$=k$\overrightarrow{e_1}$+$\overrightarrow{e_2}$=（km+1）$\overrightarrow{e_2}$，
可得$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$共線，
所以③錯誤，④正確．
故選：B．

點評 本題考查向量共線的充要條件的應用，命題的真假的判斷，考查計算能力．