如圖所示,在△ABC中,AC=1,AB=3,∠ACB=
π2
,P為AB的中點(diǎn)且△ABC與矩形BCDE所在的平面互相垂直,CD=2.
(1)求證:AD∥平面PCE;
(2)求三棱錐P-ACE的高.
分析:(1)利用線面平行的判定定理證明直線PH∥AD,即可證明AD∥平面PCE.
(2)利用等積法求三棱錐P-ACE的高.
解答:(1)設(shè)BD∩CE=H,連結(jié)PH,
∵P為AB的中點(diǎn),∴PH為△ABD的中位線,
∴PH∥AD,
∵PH?面PCE,AD?面PCE,
∴AD∥平面PCE.
(2)∵AC=1,AB=3,∠ACB=
π
2
,
∴BC=
31-1
=
8
=2
2
,PC=
1
2
AB=
3
2
,PA=
3
2
,
∴sinA=
BC
AB
=
2
2
3

∴△APC的面積為
1
2
AC•APsinA=
1
2
×1×
3
2
×
2
2
3
=
2
2
,
∵CD=2,△ABC與矩形BCDE所在的平面互相垂直,
∴三角形ACE為直角三角形,
∴CE=2
3

設(shè)三棱錐P-ACE的高為h,
則,VP-ACE=
1
3
×
1
2
CE?AC?h=
1
3
×
1
2
×2
3
h=
3
3
h
,VE-ACP=
1
3
×
2
2
×2=
2
3
,
∵VE-ACP=VP-ACE
∴等積法得
3
3
h=
2
3
,解得h=
2
3
=
6
3

即三棱錐P-ACE的高為
6
3
點(diǎn)評(píng):本題主要考查空間直線和平面平行的判定,利用線面平行的判定定理進(jìn)行證明即可.求錐體的高,可以考慮使用等積法求解.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖所示,在△ABC,已知AB=
4
6
3
,cosB=
6
6
,AC邊上的中線BD=
5
,求:
(1)BC的長(zhǎng)度;
(2)sinA的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖所示,在△ABC中,點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn),則向量
DC
=( 。
A、
1
2
BA
+
BC
B、
1
2
BA
-
BC
C、-
1
2
BA
-
BC
D、-
1
2
BA
+
BC

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖所示,在△ABC中,∠B=60°,∠C=45°,高AD=
3
,在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M,則BM<1的概率為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖所示,在△ABC中,∠BAC=90°,∠ABC=60°,AD⊥BC于D,則
AD
=(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖所示,在△ABC中,∠B=60°,∠C=45°,高AD=
3
,在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M,求BM<1的概率.

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