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8.如圖(1)所示,將邊長(zhǎng)為1的正六邊形鐵皮的六個(gè)角各切去一個(gè)全等的四邊形,再沿虛線折起,做成一個(gè)無蓋的正六棱柱容器,如圖(2)所示,求這個(gè)正六棱柱容器容積最大值.

分析 要求正六棱柱容器的容積最大,得需要得出容積表達(dá)式;由柱體的體積公式知,底面積是正六邊形,是六個(gè)全等小正△的和,高是Rt△中60°角所對(duì)的直角邊,由高和底面積得出容積函數(shù),用求導(dǎo)法可以求出最大值時(shí)的自變量取值.

解答 解:如圖示:
,
設(shè)底面六邊形的邊長(zhǎng)為x,高為d,則
d=312(1-x); 又底面六邊形的面積為:
S=6•12•x2•sin60°=332x2;所以,這個(gè)正六棱柱容器的容積為:
V=Sd=332x232(1-x)=94(x2-x3),則對(duì)V求導(dǎo),則
V′=94(2x-3x2),令V′=0,得x=0或x=23
當(dāng)0<x<23時(shí),V′>0,V是增函數(shù);當(dāng)x>23時(shí),V′<0,V是減函數(shù);
∴x=23時(shí),V有最大值,最大值是:13

點(diǎn)評(píng) 本題通過建立體積函數(shù)表達(dá)式,由求導(dǎo)的方法求函數(shù)最大值,是比較常用的解題思路,也是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容.

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A.{-1}B.{0}C.{-1,0}D.{0,1}

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