Question

17．若函數(shù)f（x）=x²+2x+2a與g（x）=|x-1|+|x+a|有相同的最小值，則不等式g（x）≥5的解集為（-∞，-3]∪[2，+∞）．

Answer 1

分析 通過配方可知f（x）的最小值為2a-1，進而可知g（x）在x=1或x=-a取得最小值，且2a-1≥0，通過計算g（1）=2a-1、g（-a）=2a-1，求出a的值，再解不等式即可．

解答 解：∵f（x）=x²+2x+2a=（x+1）²+2a-1，
∴f（x）的最小值為2a-1，
由題意知g（x）在x=1或x=-a取得最小值，且2a-1≥0，
將x=1或x=-a代入g（x），解得：a=2，
∴g（x）=|x-1|+|x+2|=$\left\{\begin{array}{l}{2x+1，x≥1}\\{3，-2＜x＜1}\\{-2x-1，x≤-2}\end{array}\right.$
∵g（x）≥5，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x+1≥5}\\{x≥1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-2x-1≥5}\\{x≤-2}\end{array}\right.$，
解得x≥2或x≤-3，
故不等式的解集為（-∞，-3]∪[2，+∞），
故答案為：（-∞，-3]∪[2，+∞）

點評 本題考查函數(shù)的最值不等式的解法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．