Question

設(shè)直線l的方程是x+my+2

3

=0，圓O的方程是x²+y²=r² （r＞0）．
（1）當(dāng)m取一切實(shí)數(shù)時(shí)，直線l與圓O都有公共點(diǎn)，求r的取值范圍；
（2）r=4時(shí)，求直線l被圓O截得的弦長(zhǎng)的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：直線與圓

分析：（1）只需直線所過的定點(diǎn)在圓內(nèi)，即可使得m取一切值時(shí)，直線與圓都有公共點(diǎn)；
（2）顯然定點(diǎn)與圓心的連線垂直于直線時(shí)，弦長(zhǎng)最短，直線過圓心時(shí)，弦長(zhǎng)為直徑最大．

解答： 解：（1）直線l過定點(diǎn)（-2

3

，0），當(dāng)m取一切實(shí)數(shù)時(shí)，直線l與圓O都有公共點(diǎn)等價(jià)于點(diǎn)（-2

3

，0）在圓O內(nèi)或在圓O上，
所以(-2

3

)2+02≤r2．解得r≥2

3

．
所以r的取值范圍是[2

3

，+∞）；
（2）設(shè)坐標(biāo)為（-2

3

，0）的點(diǎn)為點(diǎn)A，則|OA|=2

3

．
則當(dāng)直線l與OA垂直時(shí)，由垂徑定理得直線l被圓O截得的弦長(zhǎng)為l=2

r2-|OA|2

=2

42-(2 3 )2

=4；
當(dāng)直線過圓心時(shí)，弦長(zhǎng)最大，即x軸被圓O截得的弦長(zhǎng)為2r=8；                       
所以直線l被圓O截得的弦長(zhǎng)的取值范圍是[4，8]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，抓住圓心到直線的距離和半徑，以及直線的特征是解題的關(guān)鍵．