Question

2．函數(shù)f（x）滿足，對(duì)于任意x₁，x₂∈（-∞，0）∪（0，+∞），都有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），且f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
（1）判斷f（x）在（-∞，0）上的單調(diào)性并證明你的結(jié)論；
（2）如果f（4）=2，f（x-1）＜4，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）賦值法：令x₁=x₂=1，可求f（1），令x₁=x₂=-1，可求f（-1），令x₁=-1，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義先判斷函數(shù)的奇偶性，然后結(jié)合奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系即可判斷；
（3）由f（4）=2，得f（16）=f（4）+f（4）=4，從而不等式可化為f（|x-1|）＜f（16），借助函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性可去掉不等式中的符號(hào)“f”，解不等式組即可．

解答 解：（1）令x₁=x₂=1，有f（1）=f（1）+f（1），
則f（1）=0．
令x₁=x₂=-1，有f（1）=f（-1）+f（-1）=0，
則f（-1）=0．
令x₁=-1，有f（-x₂）=f（-1）+f（x₂），
∴f（-x₂）=f（x₂），
又定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
則f（x）為偶函數(shù)．
∵f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，f（x）為偶函數(shù)，
∴f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)．
（2）∵f（4）=2，所以f（16）=f（4）+f（4）=4，
則不等式f（x-1）＜4，等價(jià)為f（x-1）＜f（16），
又函數(shù)為偶函數(shù)，則f（|x-1|）＜f（16），
即|x-1|＜16，且x-1≠0，
即-16＜x-1＜16，且x≠1，
即-15＜x＜17，且x≠1，
故x的取值范圍是{x|-15＜x＜17且x≠1}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查抽象函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及抽象不等式的求解，定義、性質(zhì)是解決抽象函數(shù)問(wèn)題的基本方法．利用賦值法是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)．