Question

已知函數g（x）=ax²-4ax+b（a＞0）在區(qū)間[0，1]上有最大值1和最小值-2，設f（x）=

g(x)

x

．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）判斷函數f（x）在（1，+∞）上的單調性，并證明你的結論；
（Ⅲ）若不等式f（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-2，2]上有解，求實數k的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（Ⅰ）根據函數g（x）=ax²-4ax+b（a＞0）在區(qū)間[0，1]上為減函數，且有最大值1和最小值-2，故可建立方程組，從而可求a、b的值；
（Ⅱ）利用導數判斷并證明f（x）在區(qū)間（1，+∞）上的單調遞增．
（Ⅲ）不等式f（2^x）-k•2^x≥0可化為：2^x+

1

2x

-4-k•2^x≥0，即k≤1+(

1

2x

)2-4•(

1

2x

) ，利用換元法，結合二次函數的圖象和性質，求出1+(

1

2x

)2-4•(

1

2x

) 的最小值，可得答案．

解答： 解：（Ⅰ）g（x）=ax²-4ax+b（a＞0）的圖象是開口朝上，且以直線x=2為對稱軸的拋物線，
故函數g（x）=ax²-4ax+b（a＞0）在區(qū)間[0，1]上為減函數，
∵函數g（x）=ax²-4ax+b（a＞0）在區(qū)間[0，1]上有最大值1和最小值-2，
∴

g(0)=1 g(1)=-2

解得a=1，b=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：g（x）=x²-4x+1，f（x）=

g(x)

x

=x+

1

x

-4，
∴f′（x）=1-

1

x2

，
∵x∈（1，+∞），
∴f′（x）＞0，
∴f（x）在區(qū)間（1，+∞）上的單調遞增．
（Ⅲ）不等式f（2^x）-k•2^x≥0可化為：2^x+

1

2x

-4-k•2^x≥0，
即k≤1+(

1

2x

)2-4•(

1

2x

) ，
令t=

1

2x

，
∵x∈[-2，2]，
∴t∈[

1

4

，4]，
令h（t）=t²-4t+1，t∈[

1

4

，4]，
∴h（t）∈[-3，1]，
∴k≤1．
故所以k的取值范圍是k≤1

點評：本題考查了恒成立問題，考查了二次函數的性質，訓練了利用二次函數的單調性求最值，考查了數學轉化思想方法，解答此題的關鍵在于把不等式在閉區(qū)間上有解轉化為分離變量后的參數k小于等于函數在閉區(qū)間上的最大值，是學生難以想到的地方，是難題．