Question

17．已知橢圓$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的右焦點(diǎn)為F（3，0），過(guò)點(diǎn)F且斜率為$\frac{1}{2}$的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)．若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-1），則E的方程為（　　）

• A． $\frac{x^2}{45}+\frac{y^2}{36}=1$
• B． $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{27}=1$
• C． $\frac{x^2}{27}+\frac{y^2}{18}=1$
• D． $\frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{9}=1$

Answer 1

分析 設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入橢圓的方程，兩式相減，根據(jù)線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-1），求出斜率，進(jìn)而可得a，b的關(guān)系，根據(jù)右焦點(diǎn)為F（3，0），求出a，b的值，即可得出橢圓的方程．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則代入橢圓方程，兩式相減可得$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{a}^{2}}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{^{2}}$=0，
∵線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-1），
∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，
∵直線的斜率為$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∵右焦點(diǎn)為F（3，0），
∴a²-b²=9，
∴a²=18，b²=9，
∴橢圓方程為：$\frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{9}=1$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程，考查點(diǎn)差法的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．