Question

求函數(shù)y=

2-sinx

2-cosx

的最大值和最小值．

Answer 1

分析：法一：去分母，原式化為sinx-ycosx=2-2y，即sin（x-φ）=

2-2y

1+y2

，利用三角函數(shù)的有界性即可求解；
法二：令x₁=cosx，y₁=sinx，有x₁²+y₁²=1．它表示單位圓，則所給函數(shù)y就是經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P（2，2）以及該圓上的動(dòng)點(diǎn)M（cosx，sinx）的直線PM的斜率k，故只需求此直線的斜率k的最值即可．

解答：解：法一：去分母，原式化為
sinx-ycosx=2-2y，
即sin（x-φ）=

2-2y

1+y2

．
故

|2-2y|

1+y2

≤1，解得

4- 7

3

≤y≤

4+ 7

3

．
∴y_max=

4+ 7

3

，y_min=

4- 7

3

．
法二：令x₁=cosx，y₁=sinx，有x₁²+y₁²=1．它表示單位圓，則所給函數(shù)y就是經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P（2，2）以及該圓上的動(dòng)點(diǎn)M（cosx，sinx）的直線PM的斜率k，故只需求此直線的斜率k的最值即可．由

|2-2k|

1+k2

=1，得k=

4± 7

3

．
∴y_max=

4+ 7

3

，y_min=

4- 7

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的值域，難度一般，關(guān)鍵是掌握數(shù)形結(jié)合的思想，數(shù)形結(jié)合法是高考中必考的數(shù)學(xué)思維方法，對(duì)此讀者要有足夠的重視．