Question

設(shè)等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知an+1=2Sn+2(n∈N*)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）在a_n與a_n+1之間插入n個(gè)數(shù)，使這n+2個(gè)數(shù)組成公差為d_n的等差數(shù)列（如：在a₁與a₂之間插入1個(gè)數(shù)構(gòu)成第一個(gè)等差數(shù)列，其公差為d₁；在a₂與a₃之間插入2個(gè)數(shù)構(gòu)成第二個(gè)等差數(shù)列，其公差為d₂，…以此類推），設(shè)第n個(gè)等差數(shù)列的和是A_n．是否存在一個(gè)關(guān)于n的多項(xiàng)式g（n），使得A_n=g（n）d_n對(duì)任意n∈N^*恒成立？若存在，求出這個(gè)多項(xiàng)式；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）對(duì)于（2）中的數(shù)列d₁，d₂，d₃，…，d_n，…，這個(gè)數(shù)列中是否存在不同的三項(xiàng)d_m，d_k，d_p（其中正整數(shù)m，k，p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列，若存在，求出這樣的三項(xiàng)；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）n≥2時(shí)，由a_n+1=2S_n+2，得a_n=2S_n-1+
兩式相減可得：a_n+1-a_n=2a_n，∴a_n+1=3a_n，即數(shù)列{a_n}的公比為3
∵n=1時(shí)，a₂=2S₁+2，∴3a₁=2a₁+2，解得a₁=2，
∴a_n=2×3^n-1；
（2）由（1）知a_n=2×3^n-1，a_n+1=2×3ⁿ，
因?yàn)閍_n+1=a_n+（n+1）d_n，所以d_n=

4×3n-1

n+1

第n個(gè)等差數(shù)列的和是A_n=（n+2）a_n+

(n+2)(n+1)

2

×

4×3n-1

n+1

=4（n+2）×3^n-1=（n+2）（n+1）d_n，
∴存在一個(gè)關(guān)于n的多項(xiàng)式g（n）=（n+2）（n+1），使得A_n=g（n）d_n對(duì)任意n∈N^*恒成立；
（3）假設(shè)在數(shù)列{d_n}中存在d_m，d_k，d_p（其中m，k，p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列
則d_k²=d_md_p，即（

4×3k-1

k+1

）²=

4×3m-1

m+1

×

4×3p-1

p+1

因?yàn)閙，k，p成等差數(shù)列，所以m+p=2k①
上式可以化簡(jiǎn)為k²=mp②
由①②可得m=k=p這與題設(shè)矛盾
所以在數(shù)列{dn}中不存在三項(xiàng)d_m，d_k，d_p（其中m，k，p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列．