Question

已知：函數(shù)f（x）=|x-a|，g（x）=x²-2ax+1，若f（0）=g（0）．
（1）求正實(shí)數(shù)a的取值；
（2）求函數(shù)h（x）=g（x）-f（x）的解析式（用分段函數(shù)表示）；
（3）畫(huà)出函數(shù)h（x）的簡(jiǎn)圖，并寫(xiě)出函數(shù)的值域和單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）f（0）=|0-a|=|a|=a，g（0）=0-0+1=1，由f（0）=g（0），能求出a．
（2）f（x）-g（x）=|x-1|-x²+2x-1，當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）-g（x）=（x-1）-x²+2x-1=-x²+3x-2，當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）-g（x）=（1-x）-x²+2x-1=-x²+x，由此能求出h（x）．
（3）當(dāng)x≥1時(shí)，y=h（x）=-x²+3x-2的圖象的對(duì)稱(chēng)軸是x=

3

2

，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（

3

2

，

1

4

），與x軸交于點(diǎn)（1，0）和（2，0）；當(dāng)x＜1時(shí)，y=h（x）=-x²+x的圖象的對(duì)稱(chēng)軸是x=

1

2

，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（

1

2

，

1

4

），與x軸交于點(diǎn)（0，0）和（1，0）．
結(jié)合拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，能作出h（x）=

-x2+3x-2，x≥1 -x2+x，x＜1

的簡(jiǎn)圖，結(jié)合圖象，能求出函數(shù)的值域和單調(diào)遞增區(qū)間．

解答：解：（1）f（0）=|0-a|=|a|=a，
g（0）=0-0+1=1，
因?yàn)閒（0）=g（0），
所以a=1．
（2）f（x）-g（x）=|x-1|-x²+2x-1，
當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）-g（x）=（x-1）-x²+2x-1=-x²+3x-2，
當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）-g（x）=（1-x）-x²+2x-1=-x²+x，
∴h（x）=g（x）-f（x）=

-x2+3x-2，x≥1 -x2+x，x＜1

．
（3）當(dāng)x≥1時(shí)，y=h（x）=-x²+3x-2的圖象的對(duì)稱(chēng)軸是x=

3

2

，
頂點(diǎn)坐標(biāo)是（

3

2

，

1

4

），
與x軸交于點(diǎn)（1，0）和（2，0）；
當(dāng)x＜1時(shí)，y=h（x）=-x²+x的圖象的對(duì)稱(chēng)軸是x=

1

2

，
頂點(diǎn)坐標(biāo)是（

1

2

，

1

4

），
與x軸交于點(diǎn)（0，0）和（1，0）．
結(jié)合拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，
作出h（x）=

-x2+3x-2，x≥1 -x2+x，x＜1

的簡(jiǎn)圖如下：

結(jié)合圖象，知函數(shù)的值域?yàn)椋?∞，

1

4

]，
單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞，

1

2

]∪[1，

3

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考正實(shí)數(shù)a的取值，求函數(shù)h（x）=g（x）-f（x）的解析式，畫(huà)出函數(shù)h（x）的簡(jiǎn)圖，并寫(xiě)出函數(shù)的值域和單調(diào)遞增區(qū)間．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．