Question

已知數(shù)列{a_n}滿足如圖所示的流程圖
（Ⅰ）寫出數(shù)列{a_n}的一個遞推關系式；
（Ⅱ）證明：{a_n+1-3a_n}是等比數(shù)列；并求出{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）求數(shù)列的前n項和T_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）依題意，a₁=a₂=1，a_n+2=5a_n+1-6a_n；
（Ⅱ）令a_n+2-ma_n+1=p（a_n+1-ma_n），則，
解得m=3，p=2或m=2，p=3．
取m=3，p=2，則=2，又a₂-3a₁=1-3=-2，
∴{a_n+1-3a_n}是以-2為首項，2為公比的等比數(shù)列，
∴a_n+1-3a_n=（-2）•2^n-1=-2ⁿ．
∴-=-•．
∴-=-•，
…
-=-•，
∴-=-[++…+]=-×2[1-]=-+．
∴=-+，
∴a_n=2ⁿ-3^n-1．
（Ⅲ）∵a_n=2ⁿ-3^n-1，
∴a_n+3^n-1=2ⁿ，
∴T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，①
2T_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，②
①-②得：-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹=-n×2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹（1-n）-2，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．
分析：（Ⅰ）依題意，由程序框圖即可寫出數(shù)列{a_n}的一個遞推關系式；a₁=a₂=1，
（Ⅱ）令a_n+2-ma_n+1=p（a_n+1-a_n），依題意可求得m=3，p=2，利用等比數(shù)列的定義可證：{a_n+1-3a_n}是等比數(shù)列；利用累加法可求出{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知a_n=2ⁿ-3^n-1，利用錯位相減法即可求得T_n．
點評：本題考查數(shù)列求和，著重考查等比關系的確定，突出考查累加法與錯位相減法求和，考查轉(zhuǎn)化思想與創(chuàng)新能力，求{a_n}的通項公式是難點，屬于難題．