由函數(shù)確定數(shù)列,.若函數(shù)能確定數(shù)列,,則稱(chēng)數(shù)列是數(shù)列的“反數(shù)列”.

(1)若函數(shù)確定數(shù)列的反數(shù)列為,求

(2)對(duì)(1)中的,不等式對(duì)任意的正整數(shù)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(3)設(shè)為正整數(shù)),若數(shù)列的反數(shù)列為的公共項(xiàng)組成的數(shù)列為(公共項(xiàng)為正整數(shù)),求數(shù)列的前項(xiàng)和.

 

【答案】

(1);(2);(3)   

【解析】

試題分析:(1)本題實(shí)質(zhì)是求函數(shù)的反函數(shù);(2)不等式恒成立,因此小于不等式左邊的最小值,所以我們一般想辦法求左邊這個(gè)和,然而由(1)知,這個(gè)和求不出,那么我們只能從另一角度去思考,看的單調(diào)性,這里只要作差就可得出是遞增數(shù)列,所以的最小值是,問(wèn)題解決;(3)看起來(lái)很復(fù)雜,實(shí)質(zhì)上由于取值只能是0和1,因此我們按的奇偶性分類(lèi)討論,問(wèn)題就簡(jiǎn)化了,例如當(dāng)為奇數(shù)時(shí),,則,就可求出,從而求出的前項(xiàng)和了.

試題解析:(1),則;4分

(2)不等式化為:,5分

設(shè),因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014030304182193759472/SYS201403030419170625673246_DA.files/image027.png">,

所以單調(diào)遞增,                                    7分

.因此,即.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014030304182193759472/SYS201403030419170625673246_DA.files/image032.png">,

所以.             10分

(3)當(dāng)為奇數(shù)時(shí),.        11分

,則

,因此,                       13分

所以                                          14分

當(dāng)為偶數(shù)時(shí),.                    15分

,即,因此,   17分

所以                                    18分

考點(diǎn):(1)反函數(shù);(2)數(shù)列的單調(diào)性;(3)分類(lèi)討論,等差數(shù)列與等比數(shù)列的前項(xiàng)和.

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(09年長(zhǎng)郡中學(xué)一模文)(13分)

由函數(shù)確定數(shù)列,,函數(shù)的反函數(shù)能確定數(shù)列,若對(duì)于任意都有,則稱(chēng)數(shù)列是數(shù)列的“自反函數(shù)列”.

(I)設(shè)函數(shù),若由函數(shù)確定的數(shù)列的自反數(shù)列為,求;

(Ⅱ)已知正數(shù)數(shù)列的前n項(xiàng)和,寫(xiě)出表達(dá)式,并證明你的結(jié)論;

(Ⅲ)在(I)和(Ⅱ)的條件下,,當(dāng)時(shí),設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和,且恒成立,求的取值范圍.

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(08年莆田四中一模理) (14分)

由函數(shù)確定數(shù)列,,若函數(shù)的反函數(shù) 能確定數(shù)列,,則稱(chēng)數(shù)列是數(shù)列的“反數(shù)列”。

(1)若函數(shù)確定數(shù)列的反數(shù)列為,求的通項(xiàng)公式;

(2)對(duì)(1)中,不等式對(duì)任意的正整數(shù)恒成立,求實(shí)數(shù)的范圍;

(3)設(shè),若數(shù)列的反數(shù)列為的公共項(xiàng)組成的數(shù)列為;求數(shù)列項(xiàng)和

 

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(08年惠州一中模擬理) 由函數(shù)確定數(shù)列,,若函數(shù)的反函數(shù) 能確定數(shù)列,,則稱(chēng)數(shù)列是數(shù)列的“反數(shù)列”。

(1)已知函數(shù)的反函數(shù)為,則由函數(shù)確定的數(shù)列的反數(shù)列為,求的通項(xiàng)公式;不等式對(duì)任意的正整數(shù)恒成立,求實(shí)數(shù)的范圍;

(2)設(shè)函數(shù)確定的數(shù)列為,的反數(shù)列為的公共項(xiàng)組成的數(shù)列為;求數(shù)列項(xiàng)和

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(本小題滿(mǎn)分14分)

由函數(shù)確定數(shù)列,若函數(shù)的反函數(shù)能確定數(shù)列,則稱(chēng)數(shù)列是數(shù)列的“反數(shù)列”。

(1)若函數(shù)確定數(shù)列的反數(shù)列為,求的通項(xiàng)公式;

(2)對(duì)(1)中,不等式對(duì)任意的正整數(shù)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(3)設(shè),若數(shù)列的反數(shù)列為,的公共項(xiàng)組成的數(shù)列為, 求數(shù)列項(xiàng)和。

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