已知向量
a
=(cos
2
,sin
2
),
b
=(cos
θ
2
,-sin
θ
2
),θ∈[0,
π
3
]
,
(1)求
a
b
|
a
+
b
|
的最大值和最小值;
(2)若|k
a
+
b
|=
3
|
a
-k
b
|(k∈R)
,求k的取值范圍.
分析:(1)利用向量的數(shù)量積運(yùn)算,化簡(jiǎn)
a
b
|
a
+
b
|
,再利用換元法,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性,即可求得
a
b
|
a
+
b
|
的最大值和最小值;
(2)先兩邊平方,求得向量的數(shù)量積,再根據(jù)數(shù)量積的范圍,建立不等式,解之即可求得k的取值范圍.
解答:解:(1)∵
a
=(cos
2
,sin
2
),
b
=(cos
θ
2
,-sin
θ
2
)

a
b
=cos
3
2
θcos
θ
2
-sin
2
sin
θ
2
=cos2θ
|
a
|=|
b
|=1

|
a
+
b
|2=
a
2
+
b
2
+2
a
b
=2+2cos2θ=4cos2θ
,
∴ |
a
+
b
|=2cosθ(θ∈[0,
π
3
]
),
a
b
|
a
+
b
|
=
cos2θ
2cosθ
=
2cos2θ-1
2cosθ
.
,
設(shè)t=2cosθ,則
a
b
|
a
+
b
|
=
2t2-1
2t
=t-
1
2t
,t∈[
1
2
,1]
,
y=t-
1
2t
,則y′=1+
1
2t2
>0
y=t-
1
2t
[
1
2
,1]
上遞增
∵t=
1
2
時(shí),y=-
1
2
;t=1時(shí),y=
1
2

a
b
|
a
+
b
|
的最大值為
1
2
,最小值為-
1
2
;
(2)由|k
a
+
b
|=
3
|
a
-k
b
|
(k
a
+
b
)
2
⇒3(
a
-k
b
)
2

k2
a
2
+
b
2
+2k
a
b
=3(
a
2
+k2
b
2
-2k
a
b

|
a
|=|
b
|=1

k2 +1+2k
a
b
=3(1 +k2-2k
a
b

a
b
=
1+k2
4k

a
b
= (cos
2
,sin
2
)•(cos
θ
2
,-sin
θ
2
)
=cos2θ,θ∈[0,
π
3
]

∴cos2θ∈[-
1
2
,1]

-
1
2
1+k2
4k
≤1.

1+k2+2k
4k
≥0
1+k2-4k
4k
≤0

2-
3
≤k≤2+
3
或k=-1.
點(diǎn)評(píng):本題重點(diǎn)考查向量的數(shù)量積,考查三角函數(shù),考查解不等式,解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用向量的數(shù)量積公式化簡(jiǎn).
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
=(-cosα,1+sinα)
,
b
=(2sin2
α
2
,sinα)

(Ⅰ)若|
a
+
b
|=
3
,求sin2α的值;
(Ⅱ)設(shè)
c
=(cosα,2)
,求(
a
+
c
)•
b
的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
=(cosωx-sinωx,sinωx)
,
b
=(-cosωx-sinωx,2
3
cosωx)
,其中ω>0,且函數(shù)f(x)=
a
b
(λ為常數(shù))的最小正周期為π.
(Ⅰ)求函數(shù)y=f(x)的圖象的對(duì)稱軸;
(Ⅱ)若函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(
π
4
,0)
,求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[0,
12
]
上的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
=(cos
θ
2
,sin
θ
2
)
b
=(2,1)
,且
a
b

(1)求tanθ的值;
(2 )求
cos2θ
2
cos(
π
4
+θ)•sinθ
的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
=(cos(ωx-
π
6
),  sin(ωx-
π
4
)),  
b
=(sin(
2
3
π-ωx), sin(ωx+
π
4
))
(其中ω>0).若函數(shù)f(x)=2
a
b
-1
的圖象相鄰對(duì)稱軸間距離為
π
2

(Ⅰ)求ω的值;
(Ⅱ)求f(x)在[-
π
12
,  
π
2
]
上的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
=(cosθ,sinθ),
b=
(cos2θ-1,sin2θ),
c
=(cos2θ,sin2θ-
3
)
.其中θ≠kπ,k∈Z.
(1)求證:
a
b

(2)設(shè)f(θ)=
a
c
,且θ∈(0,π),求f(θ)
的值域.

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