Question

如圖，在五棱錐P-ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC，∠ABC=45°，AB=2

2

，BC=2AE=4，三角形PAB是等腰三角形．
（Ⅰ）求證：平面PCD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求直線PB與平面PCD所成角的大小；
（Ⅲ）求四棱錐P-ACDE的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證平面PCD⊥平面PAC，只需證明平面PCD內(nèi)的直線CD，垂直平面PAC內(nèi)的兩條相交直線PA、AC即可；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)A作AH⊥PC于H，說(shuō)明∠PBO為所求角，然后解三角形求直線PB與平面PCD所成角的大小，也可以利用空間直角坐標(biāo)系，求出向量

BP

，平面PCD的一個(gè)法向量

m

=(0，1，1)，計(jì)算cosθ=

m • BP

| m |•| BP |

，即可．
（Ⅲ）直接求出底面面積和高，再求四棱錐P-ACDE的體積．

解答：解：（Ⅰ）證明：因?yàn)椤螦BC=45°，AB=2

2

，BC=4，
所以在△ABC中，由余弦定理得：AC2=(2

2

)2+42-2×2

2

×4cos45°=8，解得AC=2

2

，
所以AB²+AC²=8+8=16=BC²，即AB⊥AC，
又PA⊥平面ABCDE，所以PA⊥AB，
又PA∩AC=A，所以AB⊥平面PAC，又AB∥CD，所以CD⊥平面PAC，
又因?yàn)镃D?平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAC；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面PCD⊥平面PAC，

所以在平面PAC內(nèi)，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥PC于H，
則AH⊥平面PCD，又AB∥CD，AB?平面PCD內(nèi)，所以AB平行于平面PCD，
所以點(diǎn)A到平面PCD的距離等于點(diǎn)B到平面PCD的距離，過(guò)點(diǎn)B作BO⊥平面PCD于點(diǎn)O，
則∠BPO為所求角，且AH=BO，又容易求得AH=2，
所以sin∠BPO=

1

2

，即∠BPO=30°，
所以直線PB與平面PCD所成角的大小為30°；

另解：（Ⅱ）因?yàn)椤鱌AB為等腰三角形，所以PA=AB=2

2

，PB=

PA2+AB2

=4
又AB∥CD，所以點(diǎn)B到平面PCD的距離等于點(diǎn)A到平面PCD的距離．
由CD⊥平面PAC，在Rt△PAC中，PA=2

2

，AC=2

2

，所以PC=4．
故PC邊上的高為2，即點(diǎn)A到平面的距離，即點(diǎn)點(diǎn)B到平面PCD的距離為2．
設(shè)直線PB與平面PCD所成的角為θ，則sinθ=

h

PB

=

2

4

=

1

2

，
又θ∈[0，

π

2

]，所以θ=

π

6

．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知AB，AC，AP兩兩互相垂直，
分別以AB，AC，AP為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
由△PAB為等腰直角三角形，所以PA=AB=2

2

，
而AC=2

2

，則A(0，0，0)，B(2

2

，0，0)，C(0，2

2

，0)，P(0，0，2

2

)
因?yàn)锳C∥ED，CD⊥AC，所以四邊形ACDE是直角梯形．
因?yàn)锳E=2，∠ABC=45°，AE∥BC，所以∠BAE=135°，∠CAE=45°，
故CD=AE•sin45°=2×

2

2

=

2

，所以D(-

2

，2

2

，0)．
因此

CP

=(0，-2

2

，2

2

)，

CD

=(-

2

，0，0)，設(shè)

m

=(x，y，z)是平面PCD的一個(gè)法向量，
則

m

•

CP

=0，

m

•

CD

=0，解得x=0，y=z．取y=1，得

m

=(0，1，1)，
而

BP

=(-2

2

，0，2

2

)．
設(shè)θ表示向量

BP

與平面PCD的法向量

m

所成的角，則cosθ=

m • BP

| m |•| BP |

=

1

2

，θ=

π

3

因此直線PB與平面PCD所成角的大小為

π

6

；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知CD⊥平面PAC，所以CD⊥AC，又AC∥ED，所以四邊形ACDE是直角梯形，又容易求得DE=

2

，AC=2

2

，所以四邊形ACDE的面積為

1

2

(

2

+2

2

)×

2

=3，所以四棱錐P-ACDE的體積為

1

3

×2

2

×3=2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間中的基本關(guān)系，考查線面垂直、面面垂直的判定以及線面角和幾何體體積的計(jì)算，考查識(shí)圖能力、空間想象能力和邏輯推理能力．