Question

2．設(shè)命題P：關(guān)于x的不等式${a^{{x^2}-ax-2{a^2}}}$＞1（a＞0且a≠1）的解集為{x|-a＜x＜2a}；命題Q：f（x）=lg（ax²-x+a）的值域為R．如果P且Q為真，則實數(shù)a的取值范圍是（0，$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 由復(fù)合命題P且Q的真假，先判斷出簡單命題P、Q均為真命題．再依命題P為真命題對a分類討論確定大致范圍，指數(shù)不等式求解可采用單調(diào)性法．命題Q中，對數(shù)函數(shù)值域為R可轉(zhuǎn)化為真數(shù)能取到（0，+∞）所有值．

解答 ∵P且Q為真命題，∴命題P與命題Q均為真命題．
若a＞1，命題P的不等式可轉(zhuǎn)化為x²-ax-2a²＞0，解集為：{x|x＜-a或x＞2a}，不合題意．
若0＜a＜1，命題P成立．此時只需滿足命題Q成立即可．
命題Q：函數(shù)的值域為R，則真數(shù)ax²-x+a能取到所有的正數(shù)，即ax²-x+a≤0有解
∴△≥0 即1-4a²≥0解得-$-\frac{1}{2}≤a≤\frac{1}{2}$，又∵0＜a＜1
所以答案為（0，$\frac{1}{2}$]

點評 考查了復(fù)合命題的真假問題，指對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)．考查函數(shù)思想、化歸思想．屬于中檔題