Question

已知直線l1：4x－3y＋6＝0和直線l2：x＝－ (p>2)．若拋物線C：y2＝2px上的點到直線l1和直線l2的距離之和的最小值為2.

(1)求拋物線C的方程；

(2)若拋物線上任意一點M處的切線l與直線l2交于點N，試問在x軸上是否存在定點Q，使Q點在以MN為直徑的圓上，若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

（1）y2＝4x（2）存在定點Q(1，0)，使Q在以MN為直徑的圓上．

【解析】(1)由定義知l2為拋物線的準線，拋物線焦點F，由拋物線定義知拋物線上點到直線l2的距離等于其到焦點F的距離．

所以拋物線上的點到直線l1和直線l2的距離之和的最小值為焦點F到直線l1的距離．

所以2＝，則p＝2，所以拋物線方程為y2＝4x.

(2)設M(x0，y0)，由題意知直線斜率存在，設為k，且k≠0，所以直線l方程為y－y0＝k(x－x0)，

代入y2＝4x消x得ky2－4y＋4y0－k＝0.

由Δ＝16－4k(4y0－k)＝0，得k＝.

所以直線l方程為y－y0＝ (x－x0)，

令x＝－1，又由＝4x0，得N.

設Q(x1，0)則＝(x0－x1，y0)，＝.

由題意知·＝0，即(x0－x1)(－1－x1)＋＝0，把＝4x0代入，得(1－x1)x0＋＋x1－2＝0，因為對任意的x0等式恒成立，所以

所以x1＝1，即在x軸上存在定點Q(1，0)，使Q在以MN為直徑的圓上．