Question

1．點P在直徑為AB=1的半圓上移動，過點P作圓的切線PT，且PT=1，∠PAB=α，問α為何值時，四邊形ABTP的面積最大？

Answer 1

分析 由AB為圓的直徑，利用圓周角定理得到∠APB為直角，再由AB=1，表示出PA與PB，根據(jù)PT與圓相切，表示出BC，進而表示出四邊形ABTP的面積，整理后，利用正弦函數(shù)的值域確定出最大值即可．

解答 解：∵AB為直徑，
∴∠APB=90°，AB=1，
∵∠PAB=α，
∴PA=cosα，PB=sinα，
又PT切圓于P點，∠TPB=∠PAB=α，
∴BC=sinα•PB=sin²α，
∴S_{四邊形ABTP}=S_△PAB+S_△TPB
=$\frac{1}{2}$PA•PB+$\frac{1}{2}$PT•BC
=$\frac{1}{2}$sinαcosα+$\frac{1}{2}$sin²α
=$\frac{1}{4}$sin2α+$\frac{1}{4}$（1-cos2α）
=$\frac{1}{4}$（sin2α-cos2α）+$\frac{1}{4}$
=$\frac{\sqrt{2}}{4}$sin（2α-$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{4}$，
∵0＜α＜$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{4}$＜2α-$\frac{π}{4}$＜$\frac{3}{4}$π，
∴當2α-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，即α=$\frac{3}{8}$π時，S_{四邊形ABTP}最大．

點評 此題考查了圓周角定理，正弦函數(shù)的值域，三角函數(shù)的恒等變換在解三角形中的應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)的恒等變換是解本題的關(guān)鍵，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．