Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=

1

2

，a_n-1-a_n=

anan-1

n(n-1)

，（n≥2），則該數(shù)列的通項公式a_n=

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：根據(jù)條件，進行轉化，利用裂項法以及累加法即可得到結論．

解答： 解：由a_n-1-a_n=

anan-1

n(n-1)

得

an-1-an

anan-1

=

1

n(n-1)

，
即

1

an

-

1

an-1

=

1

n-1

-

1

n

，n≥2，
即

1

a2

-

1

a1

=1-

1

2

，

1

a3

-

1

a2

=

1

2

-

1

3

，
…

1

an

-

1

an-1

=

1

n-1

-

1

n

，
等式兩邊同時相加得

1

an

-

1

a1

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

=1-

1

n

，
即

1

an

=1-

1

n

+

1

a1

=1-

1

n

+2=3-

1

n

=

3n-1

n

，
則a_n=

n

3n-1

，n≥2，
當n=1時，a₁=

1

2

滿足a_n=

n

3n-1

，
故該數(shù)列的通項公式a_n=

n

3n-1

，
故答案為：

n

3n-1

．

點評：本題主要考查數(shù)列通項公式的求解，根據(jù)遞推數(shù)列，利用裂項法結合累加法是解決本題的關鍵．