Question

11．設(shè)函數(shù)y=f（x）（x∈R）的導(dǎo)函數(shù)為y=f′（x），且f（x）=f（-x），f′（x）＜f（x）．則下列三個數(shù)：a=ef（2），b=f（3），c=e²f（-1）從小到大排列為b＜a＜c．（e為自然對數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=e^-xf（x），利用導(dǎo)數(shù)得出其單調(diào)性，及利用f（-x）=f（x）即可得出．

解答 解：構(gòu)造函數(shù)g（x）=e^-xf（x），
∵f′（x）＜f（x），則g′（x）=-e^-xf（x）+e^-xf′（x）=e^-x（f′（x）-f（x））＜0．
∴函數(shù)g（x）在R上單調(diào)遞減．
∴e^-3f（3）＜e^-2f（2）＜e^-1f（1），又f（-1）=f（1），
∴f（3）＜ef（2）＜e²f（1）=e²f（-1）．
故三個數(shù)：a=ef（2），b=f（3），c=e²f（-1）從小到大依次排列為：f（3），ef（2），e²f（-1）．
故答案為：b＜a＜c．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)用，恰當(dāng)構(gòu)造函數(shù)g（x）=e^-xf（x），熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、奇偶性是解題的關(guān)鍵．