Question

一個(gè)高為16的圓錐內(nèi)接于一個(gè)體積為972π的球，在圓錐內(nèi)又有一個(gè)內(nèi)切球；求
（1）圓錐的側(cè)面積；
（2）圓錐的內(nèi)切球的體積．

Answer 1

分析：（1）作軸截面，則等腰三角形CAB內(nèi)接于圓O，而圓O₁內(nèi)切于△CAB，設(shè)圓O的半徑為R，利用已知條件求出R，利用射影定理求出AC，然后求出AD，即可求出圓錐的側(cè)面積；
（2）設(shè)內(nèi)切圓O₁的半徑為r，利用三角形ABC的面積公式，求出內(nèi)切球的半徑，即可求圓錐的內(nèi)切球的體積．

解答：解：（1）如圖所示．作軸截面，則等腰三角形CAB內(nèi)接
于圓O，而圓O₁內(nèi)切于△CAB，設(shè)圓O的半徑為R，
由題意，得

4

3

πR3=972π，
∴R³=729，R=9∴CE=18；（3分）
已知CD=16，∴ED=2，
連接AE，∵CE是直徑，∴CA⊥AE，CA²=CD•CE=18×16=288，
∴CA=12

2

，（5分）
∵AB⊥CD，∴AD²=CD•DE=16×2=32，∴AD=4

2

，（7分）
∴S_側(cè)=πrl=π×4

2

×12

2

=96π；（8分）

（2）設(shè)內(nèi)切圓O₁的半徑為r
∵△ABC的周長為2(12

2

+4

2

)=32

2

，
∴

1

2

r×32

2

=

1

2

×8

2

×16，∴r=4；（10分）
∴圓錐的內(nèi)切球O₁的體積V_球=

4

3

πr3=

256

3

π．（12分）

點(diǎn)評：本題是基礎(chǔ)題，考查球的圓錐，以及圓錐的內(nèi)接球，軸截面圖形的充分利用，是解題的依據(jù)，考查直角三角形的應(yīng)用，三角形的面積的求法，綜合應(yīng)用知識的能力，是解好題目的關(guān)鍵．