Question

2．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{5}$，$\overrightarrow$=（1，3），且（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）⊥$\overrightarrow$．
（1）求向量$\overrightarrow{a}$的坐標；  
（2）求向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出$\overrightarrow{a}$的坐標，由已知列關(guān)于$\overrightarrow{a}$的坐標的方程組，求解方程組得答案；
（2）直接由數(shù)量積公式求得向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角．

解答 解：（1）設(shè)$\overrightarrow{a}=（m，n）$，∵$\overrightarrow$=（1，3），
∴2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=（2m+1，2n+3），又|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{5}$，（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）⊥$\overrightarrow$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}+{n}^{2}=5}\\{1×（2m+1）+3（2n+3）=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-2}\\{n=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=-2}\end{array}\right.$．
∴$\overrightarrow{a}=（-2，-1）$或$\overrightarrow{a}=（1，-2）$；
（2）平面內(nèi)向量夾角的θ的取值范圍是θ∈[0，π]．
∵$\overrightarrow$=（1，3），∴$|\overrightarrow|=\sqrt{10}$，
當$\overrightarrow{a}=（-2，-1）$時，
cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}=\frac{-2×1-1×3}{\sqrt{5}×\sqrt{10}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$，向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為135°；
當$\overrightarrow{a}=（1，-2）$時，
cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}=\frac{1×1-2×3}{\sqrt{5}×\sqrt{10}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$，向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為135°．

點評 本題考查平面向量的坐標運算，考查了由數(shù)量積求斜率的夾角，是中檔題．