Question

1．使不等式a²+b²+2＞λ（a+b）對任意的正數a，b恒成立的實數λ的取值范圍是（-∞，2）．

Answer 1

分析 根據題意，由于a²+b²+2＞λ（a+b）（a，b＞0）⇒λ＜$\frac{{a}^{2}+^{2}+2}{a+b}$，則原問題可以轉化為λ＜$\frac{{a}^{2}+^{2}+2}{a+b}$恒成立，（a，b＞0），令t=$\frac{{a}^{2}+^{2}+2}{a+b}$，利用基本不等式的性質分析可得t有最小值2，進而分析可得λ＜$\frac{{a}^{2}+^{2}+2}{a+b}$恒成立，則必有λ＜2，即可得實數λ的取值范圍．

解答 解：若a²+b²+2＞λ（a+b），且a，b＞0，則有λ＜$\frac{{a}^{2}+^{2}+2}{a+b}$，
則原問題可以轉化為λ＜$\frac{{a}^{2}+^{2}+2}{a+b}$恒成立，（a，b＞0）
令t=$\frac{{a}^{2}+^{2}+2}{a+b}$，
則t=$\frac{{a}^{2}+^{2}+2}{a+b}$≥$\frac{\frac{（a+b）^{2}}{2}+2}{a+b}$=$\frac{a+b}{2}$+$\frac{2}{a+b}$≥2，
即t=$\frac{{a}^{2}+^{2}+2}{a+b}$有最小值2，
若λ＜$\frac{{a}^{2}+^{2}+2}{a+b}$恒成立，則必有λ＜2，即實數λ的取值范圍是（-∞，2）；
故答案為：（-∞，2）．

點評 本題考查了基本不等式的性質，關鍵是將原問題轉化為基本不等式的問題進行分析，屬于中檔題