Question

4．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過點(diǎn)（0，$\sqrt{2}$），且其離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）斜率為$\frac{1}{2}$的直線l交橢圓C于兩個(gè)不同點(diǎn)A、B，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，1），設(shè)直線MA與MB的斜率分別為k₁、k₂．
①若直線l過橢圓C的左頂點(diǎn)，求此時(shí)k₁、k₂的值；
②試探究k₁+k₂是否為定值？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用橢圓的離心率公式和已知點(diǎn)在橢圓上，可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）①求出直線l的方程，代入橢圓方程，求得交點(diǎn)A，B，再由直線的斜率公式計(jì)算即可得到所求；
②k₁+k₂為定值0，設(shè)直線l的方程為y=$\frac{1}{2}$x+t，代入橢圓方程x²+4y²=8，運(yùn)用韋達(dá)定理，再由直線的斜率公式，化簡整理，代入韋達(dá)定理，即可得到定值0．

解答 解：（1）由題意可得b=$\sqrt{2}$，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²-b²=c²，
解得a=2$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{6}$，
即有橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）①若直線l過橢圓C的左頂點(diǎn)（-2$\sqrt{2}$，0），
可得直線l：y=$\frac{1}{2}$（x$+2\sqrt{2}$），
代入橢圓x²+4y²=8，可得x²+2$\sqrt{2}$x=0，
解得x=0或-2$\sqrt{2}$，即有A（0，$\sqrt{2}$），B（-2$\sqrt{2}$，0），
可得k₁=$\frac{1-\sqrt{2}}{2-0}$=-$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$，k₂=$\frac{1-0}{2+2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$；
②k₁+k₂為定值0，
理由如下：設(shè)直線l的方程為y=$\frac{1}{2}$x+t，
代入橢圓方程x²+4y²=8，可得x²+2tx+2t²-4=0，
即有△=4t²-4（2t²-4）＞0，解得-2＜t＜2．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
x₁+x₂=-2t，x₁x₂=2t²-4，
k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-2}$+$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-2}$=$\frac{\frac{1}{2}{x}_{1}+t-1}{{x}_{1}-2}$+$\frac{\frac{1}{2}{x}_{2}+t-1}{{x}_{2}-2}$
=$\frac{{x}_{1}{x}_{2}+（t-2）（{x}_{1}+{x}_{2}）-4（t-1）}{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}$，
由x₁x₂+（t-2）（x₁+x₂）-4（t-1）=2t²-4-2t（t-2）-4（t-1）=0，
可得k₁+k₂=0．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用離心率公式和點(diǎn)滿足橢圓方程，考查直線的斜率及斜率之和為定值的求法，注意直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．