Question

17．平面直角坐標系xOy中，雙曲線C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的漸近線與拋物線C₂：y²=2px（p＞0）交于點O，A，B，若△OAB的重心為C₂的焦點，則C₁的漸近線方程為（　�。�

• A． y=±$\frac{\sqrt{6}}{4}$x
• B． y=±$\frac{2\sqrt{6}}{3}$x
• C． y=±2$\sqrt{2}$x
• D． y=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x

Answer 1

分析 聯(lián)立方程組求出A，B的坐標，結合三角形的重心坐標公式建立方程組關系求出$\frac{a}$=，即可得到漸近線的方程．

解答 解：雙曲線C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
與拋物線C₂：y²=2px聯(lián)立，可得x=0或x=$\frac{2p{a}^{2}}{^{2}}$，
當x=$\frac{2p{a}^{2}}{^{2}}$時，y=±$\frac{a}$x=±$\frac{a}$×$\frac{2p{a}^{2}}{^{2}}$=±$\frac{2pa}$
取A（$\frac{2p{a}^{2}}{^{2}}$，$\frac{2pa}$），B（$\frac{2p{a}^{2}}{^{2}}$，-$\frac{2pa}$），
拋物線C₂的焦點（$\frac{p}{2}$，0），
即三角形的重心G（$\frac{p}{2}$，0），
則由重心坐標公式得$\frac{p}{2}$=$\frac{0+\frac{2p{a}^{2}}{^{2}}+\frac{2p{a}^{2}}{^{2}}}{3}$，
即$\frac{3p}{2}$=$\frac{4p{a}^{2}}{^{2}}$，
即$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$=$\frac{3}{8}$，即$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{8}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$，
則$\frac{a}$=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
則雙曲線的漸近線為y=±$\frac{a}$x=±$\frac{2\sqrt{6}}{3}$x，
故選：B

點評 本題考查雙曲線的性質，聯(lián)立方程組，根據(jù)三角形的重心坐標公式是解決本題的關鍵．，考查學生的計算能力．