【題目】已知函數(shù)．

（）若，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

（）若，且對于任意， 恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

（）求證：不等式對任意正整數(shù)恒成立．

【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）；（3）見解析.

【解析】試題分析：

（1）求出導函數(shù)，解不等式得增區(qū)間，解不等式得減區(qū)間；

（2），只要時， 恒成立即可，因此利用導數(shù)求出在上的最小值，由此最小值大于0可得的范圍，注意對分類討論；

（3）這類證明題一般要利用上面所證函數(shù)的結(jié)論，由（2）知當時， 恒成立，分別取為可得，相加同時取即證．

試題解析：

（），∴， ，∴當時， ，當時， ，

∴單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為．

（），∴為偶函數(shù)，

∴對恒成立，等價于，對恒成立，

∴，解得，

當時， ，在時成立，

∴在上為增函數(shù)，∴，符合題意，

當時， ，∴時， ， 減，

時， ， 增，

∴，∴，綜上．

（）證明：由（）可知，當時， 恒成立，即恒成立，

，

當時， ，得證．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖， 是圓的直徑，點是圓上異于的點， 垂直于圓所在的平面，且．

（1）若為線段的中點，求證平面；

（2）求三棱錐體積的最大值；

（3）若，點在線段上，求的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知為橢圓的左右焦點，點為其上一點，且有

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）過的直線與橢圓交于兩點，過與平行的直線與橢圓交于兩點，求四邊形的面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在圓內(nèi)畫1條線段，將圓分割成兩部分；畫2條相交線段，彼此分割成4條線段，將圓分割成4部分；畫3條線段，彼此最多分割成9條線段，將圓最多分割成7部分；畫4條線段，彼此最多分割成16條線段，將圓最多分割成11部分.那么

（1）在圓內(nèi)畫5條線段，它們彼此最多分割成多少條線段？將圓最多分割成多少部分？

（2）猜想：圓內(nèi)兩兩相交的n條線段，彼此最多分割成多少條線段？

（3）猜想：在圓內(nèi)畫n條線段，兩兩相交，將圓最多分割成多少部分？

并用數(shù)學歸納法證明你所得到的猜想.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，，

（1）求不等式的解集；

（2）若對一切，均有成立，求實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，正方形的邊長為4，點， 分別為， 的中點，將， ，分別沿， 折起，使， 兩點重合于點，連接.

（1）求證： 平面；

（2）求與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，直三棱柱中， ， ， ，點， 分別是的中點.

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）若二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，側(cè)面底面，底面為矩形， 為中點， ， ， .

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】關于函數(shù)的性質(zhì)描述，正確的是__________.①的定義域為；②的值域為；③的圖象關于原點對稱；④在定義域上是增函數(shù).

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