Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和Sn=

an

2

+

1

an

-1且a_n＞0，n∈N⁺
（1）求a₁，a₂，a₃的值，并猜想a_n的通項(xiàng)公式；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想的正確性．

Answer 1

分析：（1）由a1=S1= 

a1

2

+

1

a1

-1，a₁＞0，知a1=

3

-1．同理，a2=

5

-

3

，a3=

7

-

5

，猜想an=

2n+1

-

2n-1

．
（2）n=1時(shí)，a1=

3

-1，假設(shè)n=k時(shí)，猜想正確，即ak=

2k+1

-

2k-1

，由數(shù)學(xué)歸納法證明n=k+1時(shí)，也成立．故對(duì)n∈N⁺，都有an=

2n+1

-

2n-1

．

解答：解：（1）n=1時(shí)，a1=S1= 

a1

2

+

1

a1

-1，
∴a₁²+2a₁-2=0，
又a₁＞0，∴a1=

3

-1．
同理，得a2=

5

-

3

，a3=

7

-

5

，猜想an=

2n+1

-

2n-1

．
（2）證明：n=1時(shí)，a1=

3

-1，
假設(shè)n=k時(shí)，猜想正確，即ak=

2k+1

-

2k-1

，
又a_k+1=S_k+1-S_k=

ak+1

2

+

1

ak+1

-

ak

2

-

1

ak

，
∴ak+1=

2k+3

-

2k+1

=

2(k+1)+1

-

2(k+1)-1

，
即n=k+1時(shí)，也成立．
∴對(duì)n∈N⁺，都有an=

2n+1

-

2n-1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用職權(quán)數(shù)列的遞推公式導(dǎo)出一個(gè)數(shù)列的前三項(xiàng)，然后總結(jié)規(guī)律，猜該數(shù)列的通項(xiàng)公式，并利用職權(quán)數(shù)學(xué)歸納法對(duì)猜想進(jìn)行證明，解題時(shí)要注意方程思想的靈活運(yùn)用．