已知：長方體ABCD-A1B1C1D1，AB=2，AD=4，AA1=4，O為對角線AC1的中點，過O的直線與長方體表面交于兩點M，N，P為長方體表面上的動點，則
PM
•
PN
的取值范圍是
 
．
考點：平面向量數(shù)量積的運算,棱柱的結構特征
專題：空間向量及應用
分析：分類討論：直線MN與長方體相交的三種情況，再根據(jù)長方體的對稱性和數(shù)量積的性質：取P點時只要取頂點和每個表面的中心即可．
解答： 解：如圖所示．
∵O為對角線AC1的中點，
∴O（1，2，2）．
以下分類討論：
根據(jù)長方體的對稱性和數(shù)量積的性質：取P點時只要取頂點和每個表面的中心即可．
①當點MN在上下兩個面時．
取P（0，0，0），
設N（x，y，0），（0≤x≤2，0≤y≤4）．
則M（2-x，4-y，4）．
∴
PM
•
PN
=x（2-x）+y（4-y）=-[（x-1）2+（y-2）2]+5，
此時可得：
PM
•
PN
的取值范圍是[0，5]．
取點P（1，0，2），
PM
=（1-x，4-y，-2），
PN
=（x-1，y，-2）
則
PM
•
PN
=-（x-1）2+y（4-y）-4=-[（x-1）2+（y-2）2]，
由于0≤x≤2，0≤y≤4，∴-5≤
PM
•
PN
≤0．
此時可得：
PM
•
PN
的取值范圍是[-5，0]．
綜上可得：
PM
•
PN
的取值范圍是[-5，5]．
②當點MN在左右兩個面時，
PM
•
PN
的取值范圍是[-5，5]．
③當點MN分別上或下兩個面、左或右時，
PM
•
PN
的取值范圍是[-8，8]．
綜上可得：
PM
•
PN
的取值范圍是[-8，8]．
故答案為：
PM
•
PN
的取值范圍是[-8，8]．
點評：本題考查了長方體的對稱性、數(shù)量積的性質、分類討論思想方法等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和解決問題的能力，屬于難題．
練習冊系列答案
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OA
•
OB
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4
5
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．

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3
2
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．

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．

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．

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