Question

5．設z=log₂（1+m）+ilo${g}_{\frac{1}{2}}$（3-m）（m∈R）．
（1）若z在復平面內對應的點在第三象限，求m的取值范圍；
（2）若z在復平面內對應的點在直線x-y-1=0上，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根據復數z在復平面內對應的點在第三象限，列出不等式組$\left\{\begin{array}{l}{{log}_{2}（1+m）＜0}\\{{log}_{\frac{1}{2}}（3-m）＜0}\end{array}\right.$，求出解集即可；
（2）把z在復平面內對應點的坐標代人直線方程，解方程即可．

解答 解：（1）∵z=log₂（1+m）+ilo${g}_{\frac{1}{2}}$（3-m）（m∈R），
當z在復平面內對應的點在第三象限時，
$\left\{\begin{array}{l}{{log}_{2}（1+m）＜0}\\{{log}_{\frac{1}{2}}（3-m）＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{0＜1+m＜1}\\{3-m＞1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{-1＜m＜0}\\{m＜2}\end{array}\right.$，
∴m的取值范圍是-1＜m＜0；
（2）當z在復平面內對應的點在直線x-y-1=0上時，
log₂（1+m）-${log}_{\frac{1}{2}}$（3-m）-1=0，
即log₂（1+m）+log₂（3-m）=1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+m＞0}\\{3-m＞0}\\{（1+m）（3-m）=2}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{-1＜m＜3}\\{{m}^{2}-2m-1=0}\end{array}\right.$，
解得m=1-$\sqrt{2}$或m=1+$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了復數的幾何意義與不等式、方程的解法與應用問題，也考查了對數函數的應用問題，是基礎題目．