Question

4．已知△ABC中，三條邊a，b，c所對的角分別為A、B、C，且a²+b²-c²=ab
（Ⅰ）求角C的大��；
（Ⅱ）若f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx+cos²x，求f（B）的最大值，并判斷此時△ABC$；\\;的$的形狀．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知利用余弦定理可得cosC=$\frac{1}{2}$，結合范圍C∈（0，π），可求C的值．
（Ⅱ）由題意，利用三角函數恒等變換的應用可得f（B）=sin（2B+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，結合B的范圍可求2B+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{3π}{2}$），利用正弦函數的圖象函數性質可求最大值，進而可求B，利用三角形內角和定理可求A，即可得解．

解答 解：（Ⅰ）∵a²+b²-c²=ab，
∴由余弦定理可得：cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{ab}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，
∵C∈（0，π），
∴C=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）∵f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx+cos²x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1+cos2x}{2}$=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
又∵C=$\frac{π}{3}$，可得：B∈（0，$\frac{2π}{3}$），可得：2B+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{3π}{2}$），
∴f（B）=sin（2B+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$≤1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，當且僅當2B+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即B=$\frac{π}{6}$時，等號成立，
∴A=π-B-C=$\frac{π}{2}$，
∴f（B）的最大值為$\frac{3}{2}$，此時△ABC為直角三角形．

點評 本題主要考查了余弦定理，三角函數恒等變換的應用，正弦函數的圖象函數性質，三角形內角和定理在解三角形中的應用，考查了數形結合思想和轉化思想，屬于基礎題．